ホップフィールドネットワーク（１０） - 工場統計力学（建設中！）

何が疑問になったかといいますと、

$E=E_1+E_2+E_3$ ・・・・(37)

である場合、 $E$ を最小にすることが、はたして本当に巡回セールスマン問題の解になるかということです。巡回セールスマン問題は、 $E_1E_2=0$ の制約の元での $E_3$ が最小になる $x_{ij}$ のパターンを見つけることです。ここで、 $E_1=E_2=0$ は必須条件です。しかし、 $E_1>0$ 、 $E_2>0$ でも $E_3$ が十分に小さければ、それが $E$ の最小値になってしまわないか、という心配があります。具体的には
全ての $i,j$ について $x_{ij}=-1$ ならば、式(35)

$E_3=\Bigsum_k^4\Bigsum_i^5\Bigsum_j^5D_{ij}\frac{x_{ki}+1}{2}\cdot\frac{x_{k+1,j}+1}{2}$ ・・・・(35)

から $E_3=0$ になります。しかし、この場合もちろん $E_1$

$E_1=\Bigsum_{i=1}^5\left(\Bigsum_{j=1}^5x_{ij}+3\right)^2$ ・・・・(28)

も $E_2$

$E_2=\Bigsum_{j=1}^5\left(\Bigsum_{i=1}^5x_{ij}+3\right)^2$ ・・・・(29)

も０にはなりません。それでも、 $E_1=E_2=0$ での $E_3$ の最小値が、上の場合の $E$ の値より大きい場合は考えられると思います。

これをどう解決するかですが、式(37)の代わりに

$E=A(E_1+E_2)+E_3$ ・・・・(38)

を用いればよいのではないかと思います。ただし、 $A$ は充分大きな正の定数です。こうすれば、 $E_1$ や $E_2$ が０より大きい場合は $E$ は非常に大きな値になるので、 $E$ を最小にするには必ず $E_1=E_2=0$ でなければならないことになると思います。それでも $A$ の値をどう決めればよいのか、未だ私にはよく分からず、モヤモヤしています。