４次元の超球の表面積 - 工場統計力学（建設中！）

$\Bigint_0^\infty\Bigint_0^{\infty}\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^2-y^2-z^2)dxdydz$ ・・・・(1)

の計算をする際に $(x,y,z)$ から極座標 $(r,\theta,\varphi)$ に置換えて計算しましたが、よく考えると $\exp(-x^2-y^2-z^2)$ の部分は $r$ にだけ依存するので、これに半径 $r$ の球の表面積の１／８を掛けてやり、それを $r$ で積分すれば式(1)を計算したことになります。なぜ球の表面積の１／８かというと、 $\theta$ と $\varphi$ の積分の範囲が0から $\pi/2$ までなので

図１

上の図に示すように $r$ を固定して $\theta$ と $\varphi$ を変化させた時に出来る図形が球の表面の１／８になるからです。そこで半径 $r$ の球の表面積を $S(r)$ で示すことにすると

$\Bigint_0^\infty\Bigint_0^{\infty}\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^2-y^2-z^2)dxdydz=\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)\frac{S(r)}{8}dr$ ・・・・(2)

が成り立ちます。実際、「ガンマ関数（５）」の式(26)（ここでは式の番号を振りなおして式(3)とします。）

$\Bigint_0^\infty\Bigint_0^{\infty}\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^2-y^2-z^2)dxdydz=\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)r^2\cos\varphi{dr}d\theta{d}\varphi$ ・・・・(3)

の右辺を変形すると

$\Bigint_0^\infty\Bigint_0^{\infty}\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^2-y^2-z^2)dxdydz=\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)\left[\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}r^2\cos\varphi{d}\theta{d}\varphi\right]dr$ ・・・・(4)

となりますが、この右辺の中の

$\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}r^2\cos\varphi{d}\theta{d}\varphi$

を計算すると

$\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}r^2\cos\varphi{d}\theta{d}\varphi=r^2\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\varphi{d}\varphi=r^2\cdot\frac{\pi}{2}[sin\varphi]_0^{\pi/2}=\frac{\pi{r}^2}{2}$

となります。一方、球の表面積は $S(r)=4\pi{r}^2$ なので上の式から

$\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}r^2\cos\varphi{d}\theta{d}\varphi=\frac{S(r)}{8}$ ・・・・(5)

となることが分かります。よって式(5)を(4)に代入すれば式(2)になります。

ということは逆に考えると

$\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}r^2\cos\varphi{d}\theta{d}\varphi$

を計算することで球の表面積を求めることが出来る、ということになります。これを拡張したら４次元の超球の表面積（４次元の超球の表面は３次元になるはずだから、「超」表面積と言うべきでしょうか？）も求めることが出来るそうです。

しかし、ここで、はたと困ってしまうのは、４次元の極座標というものを図示出来ないために、積分をする際の微小面積要素（３次元の極座標における $r^2\cos\varphi{d}\theta{d}\varphi$ にあたるもの）が直感的には分からないということです。しかし何とか頑張ってみましょう。
４次元の極座標は $r,\theta,\varphi$ に加えて４番目の座標（角度）を $\lambda$ で表すことにします。すると３次元の極座標からの類推で、微小面積要素（直方体）の各辺は以下のようになると思います。まず、 $\lambda$ の変化 $d\lambda$ に対応する辺の長さは $d\lambda$ です。次に半径 $r$ が超平面 $x,y,z$ に投影されたのが図１の $r$ にあたると考えれば、これは $r$ ではなく $r\cos\lambda$ になります。よって、 $d\varphi$ に対応する辺の長さは $r\cos\lambda{d}\varphi$ 、 $d\theta$ に対応する辺の長さは $r\cos\lambda\cos\varphi{d}\theta$ になります。よって微小面積要素は $r^3\cos^2\lambda\cos\theta{d}\theta\varphi\lambda$ になります。 $\theta,\varphi,\lambda$ の積分の範囲は全て0から $\pi/2$ までにします。このようにするとこれは４つの超平面で超球がそれぞれ半分に分割されたものになりますので、４次元の超球の表面積の１／１６になります。４次元の超球の表面積を $S_4(r)$ で表すことにすると以上のことから

$\frac{S_4(r)}{16}=\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigint_0^{\frac{\pi}{2}}r^3\cos^2\lambda\cos\theta{d}\theta{d}\varphi{d}\lambda$ ・・・・(6)

となります。式(6)の右辺を計算すると

- $=\frac{\pi{r}^3}{2}\cdot\frac{1}{2}\left[\frac{\sin2\lambda}{2}+\lambda\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi{r}^3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi^2r^3}{8}$

よって

$\frac{S_4(r)}{16}=\frac{\pi^2r^3}{8}$

よって

$S_4(r)=2\pi^2r^3$ ・・・・(7)

となります。