工場統計力学（建設中！）

ｎ次元の超球の表面積

確率論

「４次元の超球の表面積」では４次元の超球の表面積を求めました。では５次元の超球の表面積は求められるでしょうか？　４次元の極座標を考えるだけでも大変だったのに５次元になるともっと大変そうです。ところが「４次元の超球の表面積」を見直すと別の計算方法が見えてきました。まずは３次元の場合ですが、

$\Bigint_0^\infty\Bigint_0^{\infty}\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^2-y^2-z^2)dxdydz=\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)\frac{S(r)}{8}dr$ ・・・・(2)

をもう一度考えます。この式の左辺は「ガンマ関数（５）」の式(25)（ここでは式の番号を振り直して式(8)とします）

$I^3=\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^2)dx\cdot\Bigint_0^{\infty}\exp(-y^2)dy\cdot\Bigint_0^{\infty}\exp(-z^2)dz=\Bigint_0^\infty\Bigint_0^{\infty}\Bigint_0^{\infty}\exp(-x^2-y^2-z^2)dxdydz$ ・・・・(8)

から $I^3$ であり、 $I$ はすでに「ガンマ関数（３）」で $I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ であることが分かっています。よって式(2)は

$\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^3=\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)\frac{S(r)}{8}dr$ ・・・・(9)

となります。３次元の球の表面積は２次元ですから $S(r)$ は $r^2$ に比例することが分かります。そこで $A$ を定数として

$S(r)=Ar^2$ ・・・・(10)

とおくと式(9)は

$\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^3=\frac{A}{8}\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)r^2dr$ ・・・・(11)

となります。式(11)の右辺は「ガンマ関数（４）」の式(24)(19)（ここでは式の番号を振り直して式(12)(13)とします）

- が０以上の偶数の場合
  - $=\frac{n!}{2^{n+1}\left(\frac{n}{2}\right)!}\sqrt{\pi}$ ・・・・(12)
- が１以上の奇数の場合
  - $=\frac{1}{2}\left(\frac{n-1}{2}\right)!$ ・・・・(13)

で $n=2$ とすれば

$\Bigint_0^{\infty}t^2\exp(-t^2)dt=\frac{2!}{2^3}\cdot{1}!\sqrt{\pi}=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$

となることを考えれば式(11)は

$\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^3=\frac{A}{8}\frac{\sqrt{\pi}}{4}$

よって

$\frac{\pi\sqrt{\pi}}{8}=\frac{A}{8}\frac{\sqrt{\pi}}{4}$
$\pi=\frac{A}{4}$
$A=4\pi$

これを式(10)に代入して

$S(r)=4\pi{r}^2$ ・・・・(14)

確かに $S(r)$ は球の表面積の式になります。

４次元の場合は、式(9)を４次元の場合に拡張して

$\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^4=\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)\frac{S_4(r)}{2^4}dr$ ・・・・(15)

になります。４次元の超球の表面積は３次元ですから $A_4$ を定数として

$S_4(r)=A_4r^3$ ・・・・(16)

とおくことが出来ます。式(16)を(15)に代入して

$\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^4=\frac{A_4}{2^4}\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)r^3dr$
$\pi^2=A_4\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)r^3dr$ ・・・・(17)

上の式(13)を用いれば

$\pi^2=A_4\frac{1}{2}\cdot{1}!=\frac{A_4}{2}$

よって

$A_4=2\pi^2$

となり、これを式(16)に代入して

$S_4(r)=2\pi^2r^3$ ・・・・(7)

となり、「４次元の超球の表面積」で求めた結果と一致します。

これを一般の $n$ 次元の超球に拡張します。 $n$ 次元の超球の表面積を $S_n(r)$ で表します。式(15)を拡張すると

$\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^n=\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)\frac{S_n(r)}{2^n}dr$ ・・・・(18)

になります。 $n$ 次元の超球の表面積は $n-1$ 次元ですから $A_n$ を定数として

$S_n(r)=A_nr^{n-1}$ ・・・・(19)

とおくことが出来ます。式(19)を(18)に代入して

$\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^n=\frac{A_n}{2^n}\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)r^{n-1}dr$
$\pi^{n/2}=A_n\Bigint_0^{\infty}\exp(-r^2)r^3dr$ ・・・・(20)

ここで「ガンマ関数（４）」の式(18)（ここでは式の番号を振り直して式(21)とします）

$\Bigint_0^{\infty}t^n\exp(-t^2)dt=\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)$ ・・・・(21)

を用いれば

$\pi^{n/2}=\frac{A_n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)$

よって

$A_n=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}$

となり、これを式(19)に代入して

$S_n(r)=\frac{2\pi^{n/2}r^{n-1}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}$ ・・・・(22)

となります。