線形代数学の復習：実対称行列は対角化可能である（４）

【補題６】

実対称行列 $A$ の固有値を $\alpha$ とする。 $\alpha$ の固有空間 $V_{\alpha}$ の実ベクトルからなる正規直交基底を $[a_1,...,a_r]$ とする。もし $r$ が実対称行列 $A$ の次元 $n$ より小さい場合、 $[a_1,...,a_r]$ にさらに $n-r$ 個の実ベクトル $[a_{r+1},...,a_n]$ を足して $R^n$ の正規直交基底になるようにする。 $U=[a_1,...,a_n]$ とすると、

$U^{-1}AU=\left[\begin{array}\alpha{I}_r&O\\O&A_1\end{array}\right]$

となる。ただし、 $I_r$ は $r$ 次の単位行列である。また、 $A_1$ は $n-r$ 次の実対称行列である。
（証明）
まず、 $U^{-1}AU$ が実対称行列であることを示します。そのために $(U^{-1}AU)^T$ を計算します。補題４から $U^{-1}=U^T$ なので

$(U^{-1}AU)^T=(U^TAU)^T=U^TA^TU$

です。ここで $A$ は対称行列なので $A^T=A$ 。よって

$U^TA^TU=U^TAU=U^{-1}AU$

となり、結局

$(U^{-1}AU)^T=U^{-1}AU$

となります。よって、 $U^{-1}AU$ は対称行列になります。また、 $U$ も $A$ も実行列なので $U^{-1}AU$ は実対称行列になります。

つぎに $1{\le}j{\le}n$ 、 $1{\le}k{\le}n$ 、 $j\neq{k}$ とすると、 $a_j^Ta_j=1$ 、 $a_j^Ta_k=0$ であることに注意すれば

- $=[a_1,...,a_r,a_{r+1},...,a_n]^T [Aa_1,...,Aa_r,Aa_{r+1},...,Aa_n]=[a_1,...,a_r,a_{r+1},...,a_n]^T[\alpha{a}_1,...,\alpha{a}_r,Aa_{r+1},...,Aa_n]$
- $=\left[\begin{array}\alpha{a}_1^Ta_1&\cdots&\alpha{a}_1^T a_r&a_1^TAa_{r+1}&\cdots&a_1^TAs_n\\\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&&\vdots\\\alpha{a}_r^Ta_1&\cdots&\alpha{a}_r^T a_r&a_r^TAa_{r+1}&\cdots&a_r^TAs_n\\\alpha{a}_{r+1}^Ta_1&\cdots&\alpha{a}_{r+1}^T a_r&a_{r+1}^TAa_{r+1}&\cdots&a_{r+1}^TAs_n\\\vdots&&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\alpha{a}_n^Ta_1&\cdots&\alpha{a}_n^T a_r&a_n^TAa_{r+1}&\cdots&a_n^TAs_n\end{array}\right]$
- $=\left[\begin{array}\alpha&&O&a_1^TAa_{r+1}&\cdots&a_1^TAs_n\\&\ddots&&\vdots&&\vdots\\O&&\alpha&a_r^TAa_{r+1}&\cdots&a_r^TAs_n\\&&&a_{r+1}^TAa_{r+1}&\cdots&a_{r+1}^TAs_n\\&O&&\vdots&\ddots&\vdots\\&&&a_n^TAa_{r+1}&\cdots&a_n^TAs_n\end{array}\right]$

となります。ここで $U^{-1}AU$ が対称行列であることに注意すれば、

$U^{-1}AU=\left[\begin{array}\alpha&&O&&&\\&\ddots&&&O&\\O&&\alpha&&&\\&&&a_{r+1}^TAa_{r+1}&\cdots&a_{r+1}^TAs_n\\&O&&\vdots&\ddots&\vdots\\&&&a_n^TAa_{r+1}&\cdots&a_n^TAs_n\end{array}\right]$

です。ここで

$A_1=\left[\begin{array}a_{r+1}^TAa_{r+1}&\cdots&a_{r+1}^TAs_n\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_n^TAa_{r+1}&\cdots&a_n^TAs_n\end{array}\right]$

とおけば

$U^{-1}AU=\left[\begin{array}\alpha{I}_r&O\\O&A_1\end{array}\right]$

と書くことが出来ます。ところで $U^{-1}AU$ が実対称行列であったので、 $A_1$ も実対称行列になります。