ロットサイズと処理時間の変動係数の関係（その２）

２６日のロットサイズと処理時間の変動係数の関係で確率的に処理時間が変動する場合をもっと包括的に議論します。これは、同一の確率分布を持つ独立な複数の確率変数の和の平均、標準偏差、変動係数を求める問題になります。
同一の確率分布を持つ $n$ 個の確率変数を $X_1,X_2,....X_n$ とします。次に、これらの確率変数の和 $S$ をすると

$S=\Bigsum_{i=1}^{n}{X_i}$

となります。 $S$ の平均を $E(S)$ で表わすと

$E(S)=E(\Bigsum_{i=1}^{n}{X_i})=\Bigsum_{i=1}^{n}{E(X_i)}$

しかし、 $X_i$ はすべて同一の平均値 $E(X)$ を持つので

$E(S)=\Bigsum_{i=1}^{n}{E(X_i)}=\Bigsum_{i=1}^{n}{E(X)}=nE(X)$

となります。次に和 $S$ の標準偏差 $STD(S)$ は

[tex:STD(S)=sqrt{E*1^2)}]

ここで

$S-E(S)=\Bigsum_{i=1}^{n}{X_i}-nE(X)=\Bigsum_{i=1}^{n}(X_i-E(X))$

よって

$(S-E(S))^2=(\Bigsum_{i=1}^{n}(X_i-E(X)))^2=\Bigsum_{i=1}^{n}(X_i-E(X))^2-\Bigsum_{i=1}^{n}\Bigsum_{j=1,i\ne{j}}^{n}(X_i-E(X))(X_j-E(X))$

よって

[tex:E*2^2)=E(\Bigsum_{i=1}^{n}(X_i-E(X))^2-\Bigsum_{i=1}^{n}\Bigsum_{j=1,i\ne{j}}^{n}(X_i-E(X))(X_j-E(X)))=\Bigsum_{i=1}^{n}E*3^2)-\Bigsum_{i=1}^{n}\Bigsum_{j=1,i\ne{j}}^{n}E*4(X_j-E(X))]

ここで $i\ne{j}$ ならば $(X_i-E(X))$ と $(X_j-E(X))$ は独立なので、

[tex:E*5(X_j-E(X))=E*6(E(X_j)-E(X))=(E(X)-E(X))(E(X)-E(X))=0]

よって

[tex:E*7^2)=\Bigsum_{i=1}^{n}E*8^2)=\Bigsum_{i=1}^{n}(STD(X_i))^2)=\Bigsum_{i=1}^{n}(STD(X))^2)=n(STD(X))^2)]

よって

[tex:STD(S)=sqrt{E*9^2)}=sqrt{n}STD(X)]

となることが分かります。
よって $S$ の変動係数を $C(S)$ で表わすと

$C(S)=\frac{STD(S)}{E(S)}=\frac{sqrt{n}STD(X)}{nE(X)}=\frac{STD(X)}{sqrt{n}E(X)}=\frac{C(X)}{sqrt{n}}$

よって、同一の確率分布を持つ独立な $n$ 個の確率変数の和の変動係数はもとの確率変数の変動係数の $\frac{1}{sqrt{n}}$ になります。各ウェハを処理する処理時間を同一の確率分布を持つ独立な確率変数と考えることが出来るならば、このことが
処理時間についても言えます。ここから逆に考えると、ロットサイズを $\frac{1}{n}$ にした時の処理時間の変動係数 $c_e$ は $sqrt{n}$ 倍になることが分かります。
たとえばロットサイズを半分にすれば、処理時間の変動係数 $c_e$ は $sqrt{2}=1.414$ 倍になります。２６日の[ロットサイズと処理時間の変動係数の関係:title=ロットサイズと処理時間の変動係数の関係]で述べた結果もそのようになっています。