【定理１２ａ】

補足説明

以下は、「搬送時間ありＧ／Ｇ／１のサイクルタイム定理」で述べた定理の証明の一部です。証明は、「【定理１０ａ】」から始まっています。

各ロットのガントチャートにおいて、ＴＬの部分を先頭に移動させ、ロット $i$ について、そのＴＬの終了時刻、すなわち $A_i+TL_i$ を新しいロット到着時刻 $A'_i$ と定義し、ガントチャートから搬送時間ＴＬとＴＵを除く、という操作をして新たなガントチャートを導き出す。これをガントチャートを変換する、と呼ぶことにする。
もし、全ての $p$ について

$CET_{max}\le{\Bigsum_{j=p}^{p+LP-2}{t_{ej}}}$

ならば、変換後のガントチャートは、

(1)同時に２ロット以上が処理中になることはない。
(2)待ちロットが１ロット以上あるのに装置が空いていることはない。

今回の定理では、新たなロット到着時刻 $A'_i$ を与えられた「搬送時間のない」モデルを考えています。ですから、待ちロットが存在する、というのはストッカに存在するのではなく、すぐ装置で処理可能な位置で存在する、ということです。よって、装置が空いていて、待ちロットが存在するのであれば、そのロットはすぐに処理を開始することになります。これが(2)の意味するところです。
証明に移る前に、例を用いて上記の変換の内容を示します。搬送時間のあるＧ／Ｄ／１のモデルのガントチャートの例として図１を示します。

図１

この例では $LP=2$ 、 $CET=TU+TL$ とします。 $TU$ は変動を持ちませんが $TL$ は変動を持ちますので $CET$ も変動を持ちます。また、図中の「Stk」はストッカでの待ちを、「Lp」はロードポートでの待ちを表します。この図の個々のロットについてＴＬを先頭に移動させると以下のようになります。

図２

ここからＴＬとＴＵを除くと、以下のようになります。

図３

このようにして図１を変換して図３のガントチャートを得ることが出来ました。このガントチャートは同時に２ロット以上が処理中になることはないですし、待ちロットが１ロット以上あるのに装置が空いていることはありません。
（証明）

上記の(1)については、上記の変換は、ロットの処理開始時刻と処理終了時刻をまったく変えていないので、ロットの処理中の部分について変換前のガントチャートとまったく同じである。前のガントチャートで、同時に２ロット以上が処理中になることはあり得ないから、変更後のガントチャートでも同時に２ロット以上が処理中になることはあり得ない。よって(1)が成り立つことは明らかである。
(2)については、変換前にＴＬがそのロットのガントチャートの先頭にもともとあったか、なかったか、で場合分けをして考える。
もともとＴＬが先頭にあった場合
- この場合はロットのガントチャートは変化していない。よって、変換後のガントチャートで待ち状態である時刻には、変換前のガントチャートでも待ち状態である。そして変換前のガントチャートで待ち状態になっている場合は必ず装置が他のロットを処理中であるが、装置が処理中である時間帯も変換前後で変わっていないので、変換後のガントチャートでも、このロットが待ち状態である時に装置が空いていることはありえない。
変換前にはＴＬが先頭になかった場合
- そのロットをロット $i$ とすると、定理１０ａから $S_i=E_{i-1}$ である。よって、処理開始の前にロット $i-1$ が処理中であったのは明らかである。
よってどちらの場合も待ち状態の時に装置が空いていることはあり得ないことが明らかである。よって(2)が成立する。

（証明終わり）

議論の継続

この【定理１２ａ】は「搬送時間ありＧ／Ｇ／１のサイクルタイム定理（再掲）」で使用されます。