専用バッファと共用バッファの組合せ - 工場統計力学（建設中！）

（搬送時間を無視した場合）ロードポートの数が増えるとＧ／Ｇ／ｍの場合に比べて（同じ装置利用率で）どれだけサイクルタイムが長くなるか、

です。
ロードポートのある場合の待ち行列を解析するにはロードポートの位置は重要ではありませんから、これを無視して考えます。すると下図のようになります。

つまり各装置の前にＬＰ−１個の、その装置専用のバッファ（待ち場所）があり、それとは別にキャパシティ無限の共用バッファがあるという構造です。これに対して通常のＧ／Ｇ／ｍ待ち行列は、

のようになります。ＬＰ＝１の時は上のモデルは下のモデルに一致します。よってこの時は、Whittの近似式を用いてサイクルタイムを求めることが出来ます。（しかし搬送時間を無視出来ない場合は、ＬＰ＝１だと常にロードポートネックになるのでWhittの近似式ではうまく近似出来ません。）まずは、ＬＰ＝無限大の時にどうなるかについて考えてみようと思います。ＬＰ＝無限大になれば共用バッファを使用することはなく、個々の装置はそれぞれＧ／Ｇ／１の待ち行列であると考えることが出来そうです。しかし一般のＧ／Ｇは難しいので、まずＭ／Ｍ／ｍとＭ／Ｍ／１を比べてみます。

図（Ｍ／Ｍ／ｍ）
図（Ｍ／Ｍ／１）がｍ個

上記の２つの場合で、全体としてのスループットが同じであれば、個々の装置の利用率も同じになります。そこで同じ利用率での両者のサイクルタイムを調べて見ます。利用率 $u$ とサイクルタイム $CT$ の関係は

- ここに $p_0$ はｍ台の装置が全て空いている確率を表し、
- $p_0=\frac{1}{\Bigsum_{i=\0}^{m-\1}{\frac{(mu)^i}{i!}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}}$

となります。ｍ＝１の時、ｍ＝２の時、ｍ＝４の時のこれらの関係をグラフに示すと、以下のようになります。（ここでは $t_0=1$ としました。）

ここから、次のような考察を得ることが出来ます。

４台の装置からなるステーションの場合、ロットの到着間隔と装置の処理時間がともに指数分布であれば、ＬＰ＝１のときはｍ＝４の曲線に示すようなサイクルタイムの特性であったのが、ＬＰが大きくなるにつれてｍ＝１の曲線に近づく。

しかし本当にこれは正しいのでしょうか？　私にはまだ疑問が残っています。そのわけを「キャパシティ無限大のロードポートを持つシステムがＭ／Ｍ／１とみなされない訳」で述べます。