搬送時間ありＭ／Ｇ／１のサイクルタイム定理

「搬送時間ありＧ／Ｇ／１のサイクルタイム定理の意味」で述べた、ロット到着間隔が指数分布の場合の定理について述べます。
ロット到着系列、すなわちロット到着時刻の集合、の個々の到着時刻にＴＬを足して別のロット到着系列を作成する、という作業を考察します。ここでＴＬは確率的に変動する変数です。ＴＬがとる値の確率密度関数 $p_{TL}(t)$ を考えます。

一方、ロット到着間隔が指数分布であるような到着系列は、到着発生の確率密度が時間にかかわらず一定であるような系列と考えることが出来ます。（その理由については「補足：指数分布について」を参照して下さい。）
ロット到着が発生する確率密度を $h_1(t)$ で表すと、 $h_1(t)=c$ です。ただし $c$ は定数です。ロット到着系列の個々の到着時刻にＴＬを足して出来た到着系列の時刻 $t$ における確率密度は、 $t_1+t_2=t$ になるような $t_1$ におけるもとの到着系列の存在確率密度 $h_1(t_1)$ 、かける、ＴＬの値が $t_2$ になる確率密度 $p_{TL}(t_2)$ をあらゆる可能な $t_1$ , $t_2$ の組合せで総計（積分）したものになります。よって新しい到着系列の確率密度を $h_2(t)$ とすると、 $t_1=t-t_2$ に注意すれば、

$h_2(t)=\Bigint_0^{\infty}h_1(t_1)p_{TL}(t_2)dt_2=\Bigint_0^{\infty}h_1(t-t_2)p_{TL}(t_2)dt_2$
$=\Bigint_0^{\infty}cp_{TL}(t_2)dt_2=c\Bigint_0^{\infty}p_{TL}(t_2)dt_2=c{\times}1=c$

よって

$h_2(t)=c$

となり、新しいロット到着系列はＴＬの確率密度分布の形に関わらず、もとのロット到着系列と同じ確率密度を持つ指数分布のロット到着系列になることが分かります。つまり、デタラメに到着するロットにさらにＴＬを足しても同じデタラメさの到着系列になるということです。
以上のことを用いれば、搬送時間ありＧ／Ｇ／１のサイクルタイム定理は、ロット到着が指数分布の時（すなわちＭ／Ｇ／１の時）以下のように変形することが出来ます。

搬送時間ありＭ／Ｇ／１のサイクルタイム定理

定理（ＴＬが一定の場合のＧ／Ｇ／１のサイクルタイム）：
- 上図のような構成のＭ／Ｇ／１のモデルを考え、これをモデルＭ１と呼ぶことにする。Ｍ１から搬送時間とロードポートを省いた、通常のＧ／Ｇ／１の待ち行列を考え、Ｍ１と同じロット到着系列を与える。これをモデルＭ２と呼ぶことにする。Ｍ１において装置利用率の時のロットのサイクルタイムをとし、Ｍ２において装置利用率の時のロットのサイクルタイムをとする。もし、全てのについて
  - $CET_{max}\le{\Bigsum_{j=p}^{p+LP-2}{t_{ej}}}$
- ならば
  - $g(u)=f(u)+E(TU)+TL$
- である。ただし $E(TU)$ は $TU$ の平均値を表す。また、 $t_{ej}$ はロット $j$ の処理時間を表す。