補足：指数分布について - 工場統計力学（建設中！）

これは「搬送時間ありＭ／Ｇ／１のサイクルタイム定理」の補足です。到着発生確率密度が時間の経過に対して一定である場合、その到着の間隔が指数分布になる理由を以下に説明します。
時刻０の時に到着が発生したとします。次の到着が $t$ と $t+dt$ の間に発生する確率を $h(t)dt$ とすると、それは、今まで到着が発生しなかった確率

$1-\Bigint_0^th(t_1)dt_1$

と、 $t$ と $t+dt$ の間に発生する確率

$cdt$

をかけたものになります。すなわち、

$h(t)dt=\left\{1-\Bigint_0^th(t_1)dt_1\right}cdt$

すなわち

$h(t)=\left\{1-\Bigint_0^th(t_1)dt_1\right\}c$

両辺を微分して

$\frac{dh(t)}{dt}=-ch(t)$

よって

$h(t)=Ae^{-ct}$ （ただし $A$ は積分定数）

となってロット到着間隔の確率分布は指数分布になります。

指数分布でない到着系列の場合は、そもそもこのような到着発生の確率密度を「あらかじめ」考えることが出来ません。それは前後の到着時刻の間に相関があるために、ある時刻で到着が発生した場合としない場合でその後の到着の発生確率密度の分布が変わってくるからです。しかし指数分布の場合は、ある時刻で到着が発生した場合としない場合でその後の到着の発生確率密度の分布が変わりませんので、このような確率密度を「あらかじめ」考えることが出来るのです。）