はみ出し部分が指数分布で近似出来る場合のキャパシティの近似式

ファブ内物流の論理を求めて

「ロードポートネックによるキャパシティ悪化の近似式」で導いたロードポートネックによるキャパシティCapaの近似式

  • Capa=\frac{t_e}{t_e+\Bigint_0^{\infty}tp(t+t_e)dt\left{\frac{1}{1+\Bigint_0^{\infty}p(t+t_e)dt}\right}}・・・・・・（２）

において、CETの確率密度p(x)のはみ出し部分（CET>t_eの部分。下のグラフの赤い部分）

の分布が、指数分布

  • p(t)=\frac{1}{m}e^{-\frac{t+a}{m}}

（ただしm、aは定数）で近似出来る場合の式（２）の変形を導いておきます。そのためにまず、式（２）の中の

  • \Bigint_0^{\infty}tp(t+t_e)dt　　　　と　　　　\Bigint_0^{\infty}p(t+t_e)dt

を計算します。
まず、

  • \Bigint_0^{\infty}tp(t+t_e)dt=\Bigint_0^{\infty}t\frac{1}{m}e^{-\frac{t+t_e+a}{m}}dt=e^{-\frac{t_e+a}{m}}\Bigint_0^{\infty}t\frac{1}{m}e^{-\frac{t}{m}}dt・・・・・・（３）

ここで最後の変形から

  • \Bigint_0^{\infty}t\frac{1}{m}e^{-\frac{t}{m}}dt

を取り出し、さらに変形します。

  • \Bigint_0^{\infty}t\frac{1}{m}e^{-\frac{t}{m}}dt=\left[t(-e^{-\frac{t}{m}})\right]_0^{\infty}-\Bigint_0^{\infty}(-1)e^{-\frac{t}{m}}dt
  • =(-1){\times}(0-0)-\Bigint_0^{\infty}(-1)e^{-\frac{t}{m}}dt=\Bigint_0^{\infty}e^{-\frac{t}{m}}dt=\left[(-m)e^{-\frac{t}{m}}\right]_0^{\infty}=(-m){\time}(0-1)=m

よって式（３）は

  • \Bigint_0^{\infty}p(t+t_e)tdt=me^{-\frac{t_e+a}{m}}・・・・・・（４）

となります。次に

  • \Bigint_0^{\infty}p(t+t_e)dt=\Bigint_0^{\infty}\frac{1}{m}e^{-\frac{t+t_e+a}{m}}dt=e^{-\frac{t_e+a}{m}}\Bigint_0^{\infty}\frac{1}{m}e^{-\frac{t}{m}}dt=e^{-\frac{t_e+a}{m}}\left[(-1)e^{-\frac{t}{m}}\right]_0^{\infty}
  • =e^{-\frac{t_e+a}{m}}\times(-1)\times(0-1)=e^{-\frac{t_e+a}{m}}・・・・・・（５）

式（４）と（５）を式（２）に代入して

  • Capa=\frac{t_e}{t_e+me^{-\frac{t_e+a}{m}}\left{\frac{1}{1+e^{-\frac{(t_e+a)}{m}}}\right}}・・・・・・（６）

式（６）が、CETのはみ出し部分の分布が、指数分布で近似出来る場合のロードポートネックによる装置キャパシティCapaの近似式になります。