Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（１）

Ｍ／Ｍ／ｍの待ち行列における待ち時間の式は、

$CT_q=\frac{m^{m-1}u^m}{m!(1-u)^2}{p_0}{t_e}$ ・・・・・・（１）

- $CT_q$ ：キューでの待ち時間
- $u$ ：装置の利用率
- $m$ ：装置台数
- $t_e$ ：装置の平均処理時間
- ここに $p_0$ は $m$ 台の装置が全て空いている確率を表し、

- - $p_0=\frac{1}{\Bigsum_{i=\0}^{m-\1}\left{\frac{(mu)^i}{i!}\right}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}}$

導出方法

自分の勉強を兼ねて式（１）の導出方法を記していきます。
到着時間の間隔が指数分布であり、処理時間が指数分布であることから、任意の時刻 $t$ から $dt$ の間にロットが到着する確率や、装置の処理が終了する確率は常に一定です（記憶なし特性）。平均処理時間は $t_e$ なので、ある１台の装置に注目した時、 $dt$ の間にその装置の処理が完了する確率は

$\frac{dt}{t_e}$

です。よって時刻 $t$ に処理中の装置が $i$ 台あるとしたら、どれかの装置で処理が完了する確率は

$\frac{idt}{t_e}$ ・・・・・・（２）

となります。一方、装置の利用率が１００％（つまり１）の時の装置にやってくるロットの到着間隔の平均は、装置が１台（つまり $m=1$ ）の時は平均処理時間と等しくなりますから $t_e$ になります。装置が $m$ 台の時は

$\frac{t_e}{m}$

になります。さらに、ロットの到着間隔は装置の利用率 $u$ と反比例しますから

$\frac{t_e}{mu}$

となります。よって、 $dt$ の間にロットが到着する確率は

$\frac{mudt}{t_e}$ ・・・・・・（３）

次に、システム（待ち行列と装置を合わせた全体）内にあるロットの数が $k$ 個である確率を $p_k$ とします。またシステム内にロットが $k$ 個ある状態を状態 $k$ と呼ぶことにします。この時、どの装置が埋まっているかは不問にして状態を考えます。定常状態が存在すると仮定して、定常状態の $p_k$ の値をこれから求めます。
まず、 $p_0$ の確率を考えます。任意の時刻 $t$ から $dt$ の間に他の状態から状態0に入る遷移は、状態1から、ロットの処理が終了して状態0になる遷移しかありません。また、任意の時刻 $t$ から $dt$ の間に状態0から他の状態に出ていく遷移は、ロットが到着して状態1に出ていく遷移しかありません。それぞれの遷移の確率は、状態1→状態0が、式（２）から