Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（２）

待ち行列理論

これは「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（１）」の続きです。
今度は、状態1と状態2の関係を考えてみます。同様に式（２）と（３）を用いると下図のような結果になります。（状態２ではロットを処理している装置が２台なので、式（２）でi=2になることに注意）

ところが、前回の説明で

  • p_1\frac{dt}{t_e}=p_0\frac{mudt}{t_e}

であることが判明していますので、p_1が一定であるためには今度は

  • 状態2→状態1の遷移確率　と
  • 状態1→状態2の遷移確率

が等しくなければなりません。よって

  • p_2\frac{2dt}{t_e}=p_1\frac{mudt}{t_e}
  • p_2=\frac{mu}{2}p_1・・・・・・（７）

以下、同様に考えれば、[tex:0{\le}i

  • p_{i+1}=\frac{mu}{i+1}p_i・・・・・・（８）

になります。i{\ge}mの場合は、状態i+1であっても装置の台数はmですから、同時に処理している装置台数はmのままです。

よって、i{\ge}mの場合は

  • p_{i+1}=up_i・・・・・・（９）

式（８）から[tex:0{\le}k

  • p_k=\frac{(mu)^k}{k!}p_0・・・・・・（１０）

が導かれます。さらにk=mの時は（１０）と（９）から

  • p_m=\frac{(mu)^m}{m!}p_0・・・・・・（１１）

さらにk{\ge}mの時は（９）と（１１）から

  • p_k=\frac{(mu)^m}{m!}u^{k-m}p_0・・・・・・（１２）

が導かれます。
さて、ここでp_0の値が分かれば全てのp_kの値が分かります。p_0の値を求めるには全確率の公式

  • \Bigsum_{k=0}^{\infty}p_k=1・・・・・・（１３）

を用います。（１３）の左辺に、式（１１）と（１２）を入れると

  • \Bigsum_{k=0}^{\infty}p_k=\Bigsum_{k=0}^{m-1}p_k+\Bigsum_{k=m}^{\infty}p_k=\Bigsum_{k=0}^{m-1}\left\{\frac{(mu)^k}{k!}p_0\right\}+\Bigsum_{k=m}^{\infty}\left\{\frac{(mu)^m}{m!}u^{k-m}p_0\right\}
  • =p_0\Bigsum_{k=0}^{m-1}\frac{(mu)^k}{k!}+\frac{(mu)^m}{m!}p_0\Bigsum_{k=m}^{\infty}u^{k-m}=p_0\left\{\Bigsum_{k=0}^{m-1}\frac{(mu)^k}{k!}+\frac{(mu)^m}{m!}\Bigsum_{k=m}^{\infty}u^{k-m}\right\}
  • =p_0\left\{\Bigsum_{k=0}^{m-1}\frac{(mu)^k}{k!}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}\right\}

よって

  • p_0\left\{\Bigsum_{k=0}^{m-1}\frac{(mu)^k}{k!}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}\right\}=1

よって

  • p_0=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{m-1}\frac{(mu)^k}{k!}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}}・・・・・・（１４）

式（１４）を式（１１）と式（１２）に代入することにより、全てのp_kの値を求めることが出来ます。
「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（３）」に続きます。

上位エントリ

待ち行列理論の私的総論