Ｍ／Ｇ／ｍにおける待ち時間の近似式の導出

待ち行列理論

上位エントリー：待ち行列理論の私的総論
Ｍ／Ｇ／ｍの待ち行列における待ち時間の近似式は、

    • CT_q\appro\left(\frac{1+c_e^2}{2}\right)CT_{q(M/M/m)}
    • ただし
      • CT_q：キューでの待ち時間
      • c_e：装置処理時間の変動係数
      • CT_{q(M/M/m)}：Ｍ／Ｍ／ｍにおけるキューでの待ち時間
      • m：装置台数

導出の試み

「Ｍ／Ｇ／１における待ち時間の式の導出（２）」で分かったことは、Ｍ／Ｇ／１の場合

  • CT_q=\left(\frac{1+c_e^2}{2}\right)\frac{u}{1-u}t_e・・・・・（１）

となることであり、「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（３）」で分かったことはＭ／Ｍ／ｍの場合

  • CT_q=\frac{m^{m-1}u^m}{m!(1-u)^2}{p_0}{t_e}・・・・・（２）
    • ここにp_0はｍ台の装置が全て空いている確率を表し、
    • p_0=\frac{1}{\Bigsum_{i=\0}^{m-\1}\left{\frac{(mu)^i}{i!}\right}+\frac{(mu)^m}{m!(1-u)}}・・・・・（３）

であることです。ここから、Ｍ／Ｇ／ｍの場合の待ち時間の近似式は、処理時間の分布がＭの時に（２）に一致し、m=1の時に（１）に一致するという要請を課すことが出来ます。Ｍ／Ｍ／１の場合

    • CT_q=\frac{u}{1-u}t_e

なので、これを

    • CT_{q(M/M/1)}=\frac{u}{1-u}t_e・・・・・（４）

と書き直せば（ただしCT_{q(M/M/1)}はＭ／Ｍ／１の場合のCT_qを表す）、Ｍ／Ｇ／１の場合の式（１）は

  • CT_q=\left(\frac{1+c_e^2}{2}\right)CT_{q(M/M/1)}・・・・・（５）

と書くことが出来ます。式（５）がＭ／Ｇ／ｍの場合にも成り立つ保障はありませんが、

  • CT_q\appro\left(\frac{1+c_e^2}{2}\right)CT_{q(M/M/m)}・・・・・（６）

（ただしCT_{q(M/M/m)}はＭ／Ｍ／ｍの場合のCT_qを表す）と置いてみると、処理時間の分布がＭの時にはc_e=1なので式（６）は式（２）に一致し、m=1の場合は式（５）、すなわち式（１）に一致します。
「ＯＲWiki」の「待ち行列における近似」を見ると、これはリー・ロントンの近似式というのだそうです。そして、

リー・ロントンの近似式は, 0{\le}c_e{\le}1のとき過小評価,c_e>1 のとき過大評価する傾向がある.


ＯＲWiki、待ち行列における近似

とのことです。同じく「待ち行列における近似」には「重負荷(heavy traffic)時における漸近的性質」というものが紹介されそれは

  • \lim_{u\rightar{1}}(1-u)CT_{q(M/G/m)}=\frac{1+c_e^2}{2m}t_e・・・・・（７）

というものだそうですが、式（６）（リー・ロントンの近似式）は（７）をも満たしているということです。

自分への宿題

式（７）「重負荷(heavy traffic)時における漸近的性質」が何故、成り立つのか、理解すること。今の自分の理解では、これは成り立たないことになってしまう。こまった。