ロードポートネックによるキャパシティ悪化の近似式のＬＰ＝３への拡張（２）

「ロードポートネックによるキャパシティ悪化の近似式のＬＰ＝３への拡張（１）」の続きです。今までの結果をまとめると以下のようになります。

（連続、連続）＋短→（連続、連続）
（連続、連続）＋長→（連続、中断）
（連続、中断）＋短または長→（中断、連続）
（中断、連続）＋短または長→（連続、連続）

ここで $CET$ が長になる確率を $p$ （短になる確率は $1-p$ ）とすると、以下のような状態遷移図を書くことが出来ます。

ここから、定常状態における各状態を発生確率を求めましょう。まず（連続、中断）の発生確率を $a$ と置きます。遷移（連続、中断）→（中断、連続）は確率１の遷移で、（中断、連続）に入る他の遷移はないから、定常状態では（中断、連続）の発生確率は（連続、中断）の発生確率に等しくなり、よってこれも $a$ になることがわかります。そうすると（連続、連続）の発生確率は $1-2a$ で表されることになります（全ての状態の発生確率の和は１にならなければならないため）。

ここで状態（連続、連続）に入る遷移に注目して定常状態の式を作れば

$(1-2a)(1-p)+a=1-2a$

になります。これを変形すると

$(1-2a)-p(1-2a)+a=1-2a$
$-p(1-2a)+a=0$
$-p+2pa+a=0$
$-p+(2p+1)a=0$
$(1+2p)a=p$
$a=\frac{p}{1+2p}$

これで、（連続、中断）の発生確率を求めることが出来ました。今度は定常状態において「中断」がどの確率で発生するのか考えて見ます。これは簡単な話で、（連続、中断）の発生確率に等しいことが直感的に分かります。（（中断、連続）も含めて数えてしまうと、「中断」を二重に数えていることになってしまいます。）　１回の「中断」で装置が空く時間は、長の時の $CET$ と $2t_e$ の差ですが、これを「ＣＥＴが確率的に２値をとる場合のロードポートネック（２）」での議論の時と同様に $D$ とすると、平均で装置が空く時間は、 $D$ に「中断」の発生確率 $a$ をかけた値