合流型待ち行列の解析 - 工場統計力学（建設中！）

今度は、下図のような３ステーションからなり、装置１と装置２からの流れが装置３の前で合流する待ち行列を考えます。このような待ち行列でも（処理時間が指数分布で到着間隔も指数分布ならば）積形式解になるかどうか調べます。

図１

１台目の装置の平均処理時間を $t_{e1}$ 、２台目の装置の平均処理時間を $t_{e2}$ 、３台目の装置の平均処理時間を $t_{e3}$ とします。さらに、１台目の装置の利用率を $u_1$ 、２台目の装置の利用率を $u_2$ 、３台目の装置の利用率を $u_3$ とします。装置１でのスループットを $\lambda_1$ 、装置２でのスループットを $\lambda_2$ とします。すると

$\lambda_1=\frac{u_1}{t_{e1}}$ ・・・・・・（１）
$\lambda_2=\frac{u_2}{t_{e2}}$ ・・・・・・（２）

が成り立ちます。さらに、装置３にはこの両方の流れが合流して入って来ますので装置３でのスループットを $\lambda_3$ とすると

$\lambda_3=\lambda_1+\lambda_2$ ・・・・・・（３）

一方、それを $t_{e3}$ と $u_3$ で表せば、

$\lambda_3=\frac{u_3}{t_{e3}}$ ・・・・・・（４）

が成り立ちます。
状態は $(k,m,n)$ で表し、 $k$ が装置１で処理しているかあるいは待っているロットの数、 $m$ が装置２で処理しているかあるいは待っているロットの数、 $n$ が装置３で処理しているかあるいは待っているロットの数、を表すものとします。
今回は、以下の図で各状態へ入る流量（＝遷移確率）と出る流量が等しいとします。（今回は合流があるので、図に示された全ての遷移の流量が等しいとは言えません。）

上図から数式を作ると、平衡状態が成り立つための式は

$p(k,m,n)\lambda_1=p(k+1,m,n)\frac{1}{t_{e1}}$ ・・・・・・（５）
$p(k,m,n)\lambda_2=p(k,m+1,n)\frac{1}{t_{e2}}$ ・・・・・・（６）
$p(k+1,m,n)\frac{1}{t_{e1}}+p(k,m+1,n)\frac{1}{t_{e2}}=p(k,m,n+1)\frac{1}{t_{e3}}$ ・・・・・・（７）