分岐型待ち行列の解析 - 工場統計力学（建設中！）

今度は、下図のような３ステーションからなり、装置１から流れが装置２と装置３に分岐する待ち行列を考えます。このような待ち行列でも（処理時間が指数分布で到着間隔も指数分布ならば）積形式解になるかどうか調べます。

図１

１台目の装置の平均処理時間を $t_{e1}$ 、２台目の装置の平均処理時間を $t_{e2}$ 、３台目の装置の平均処理時間を $t_{e3}$ とします。さらに、１台目の装置の利用率を $u_1$ 、２台目の装置の利用率を $u_2$ 、３台目の装置の利用率を $u_3$ とします。装置１でのスループットを $\lambda_1$ 、とします。すると

$\lambda_1=\frac{u_1}{t_{e1}}$ ・・・・・・（１）

が成り立ちます。ここで、装置１を出たロットが装置２と装置３のどちらに進むかをどのように決定するのかを決めなければなりません。このあとの計算が簡単なのは、確率で決めるやり方です。その理由は後日示す予定です。装置１から装置２に行く確率を $r_{12}$ 、装置１から装置３に行く確率を $r_{13}$ とします。また

$r_{12}+r_{13}=1$

です。すると、装置２のスループットを $\lambda_2$ 装置２のスループットを $\lambda_3$ とすると

$\lambda_2=r_{12}\lambda_1$ ・・・・・・（２）
$\lambda_3=r_{13}\lambda_1$ ・・・・・・（３）

となります。これらについては、その定義から

$\lambda_2=\frac{u_2}{t_{e2}}$ ・・・・・・（４）
$\lambda_3=\frac{u_3}{t_{e3}}$ ・・・・・・（５）

が成り立ちます。
状態は $(k,m,n)$ で表し、 $k$ が装置１で処理しているかあるいは待っているロットの数、 $m$ が装置２で処理しているかあるいは待っているロットの数、 $n$ が装置３で処理しているかあるいは待っているロットの数、を表すものとします。今回は、以下の図で各状態へ入る流量（＝遷移確率）と出る流量が等しいとします。