確率的経路選択について - 工場統計力学（建設中！）

分岐先を確率で決めるとどうして「分岐型待ち行列の解析」での平衡状態の式が式（７）、式（８）のように書くことが出来るか？

について理由を述べたいと思います。「分岐型待ち行列の解析」で考えた待ち行列ネットワークの図をもう一度示します。

図１

今問題にしているのは装置１から１ロットが装置２の前に進む確率と装置１から１ロットが装置３の前に進む確率です。もう少し厳密に言えば、時間 $t$ から $t+dt$ の間に装置１から１ロットが装置２の前に進む確率と装置１から１ロットが装置３の前に進む確率です。時間 $t$ から $t+dt$ の間に装置１で１ロットの処理が終わる確率は、（式（７）（８）の左辺は $p(k+1,m,n)$ を含んでおり、このことは装置１には最低１ロットが処理中であることに注意すれば、）「Ｍ／Ｍ／１における待ち時間の式の導出（２）」で考えたのと同様に考えて、

$p(k+1,m,n)\frac{dt}{t_{e1}}$

であることが分かります。装置１で処理完了したロットが装置２に向かう確率が $r_{12}$ ですので、時間 $t$ から $t+dt$ の間に装置１から１ロットが装置２の前に進む確率は

$p(k+1,m,n)\frac{r_{12}dt}{t_{e1}}$ ・・・・・・（１２）

となります。一方、時間 $t$ から $t+dt$ の間に装置２からロットが出て行く確率は

$p(k,m+1,n)\frac{dt}{t_{e2}}$ ・・・・・・（１３）

ですから、定常状態では式（１２）と（１３）が等しいことになります。よって

$p(k+1,m,n)\frac{r_{12}dt}{t_{e1}}=p(k,m+1,n)\frac{dt}{t_{e2}}$

この両辺を $dt$ で割れば、

$p(k+1,m,n)\frac{r_{12}}{t_{e1}}=p(k,m+1,n)\frac{1}{t_{e2}}$

となり、式（７）を導くことが出来ました。同様にして式（８）を導くことも出来ます。
このように分岐先を確率で決めることにすると局所平衡方程式を自然な形で書くことが出来るのです。このように、ステーションでロットが処理された後、次にどのステーションに進むかを確率的に選択する方式を、待ち行列ネットワークの世界では確率的経路選択と呼んでいるようです。

（ＯＲWikiの「確率的経路選択」を参照。）

「もう少し複雑な待ち行列ネットワークの解析（１）」に続きます。