工場統計力学（建設中！）

もう少し複雑な待ち行列ネットワークの解析（２）

待ち行列ネットワークへの助走

先行エントリ：もう少し複雑な待ち行列ネットワークの解析（１）

次に、装置１とその前にロットが $k$ 個、装置２とその前にロットが $m$ 個、装置３とその前にロットが $n$ 個、装置４とその前にロットが $r$ 個、存在する状態を $(k,m,n,r)$ で表し、その定常確率を $p(k,m,n,r)$ で表すことにします。今回は、以下の図で各状態へ入る流量（＝遷移確率）と出る流量が等しいとします。

図３

上図から数式を作ると、平衡状態が成り立つための式は

$p(k,m,n,r)\lambda_1+p(k,m,n+1,r)\frac{1}{t_{e3}}+p(k,m,n,r+1)\frac{1}{t_{e4}}=p(k+1,m,n,r)\frac{1}{t_{e1}}$ ・・・・・・（１２）
$p(k+1,m,n,r)\frac{1}{t_{e1}}=p(k,m+1,n,r)\frac{1}{t_{e2}}$ ・・・・・・（１３）
$p(k,m+1,n,r)\frac{1}{3t_{e2}}=p(k,m,n+1,r)\frac{1}{t_{e3}}$ ・・・・・・（１４）
$p(k,m+1,n,r)\frac{1}{3t_{e2}}=p(k,m,n,r+1)\frac{1}{t_{e4}}$ ・・・・・・（１５）
$p(k,m+1,n,r)\frac{1}{3t_{e2}}=p(k,m,n,r)\lambda_1$ ・・・・・・（１６）

ここで式（８）〜（１１）を以下のように変形してみましょう。

$\frac{\theta_1}{u_1}=\frac{1}{t_{e1}$ ・・・・・・（１７）
$\frac{\theta_2}{u_2}=\frac{1}{t_{e2}$ ・・・・・・（１８）
$\frac{\theta_3}{u_3}=\frac{1}{t_{e3}$ ・・・・・・（１９）
$\frac{\theta_4}{u_4}=\frac{1}{t_{e4}$ ・・・・・・（２０）

そして、これらを式（１２）〜（１６）に代入すると、以下のようになります。

$p(k,m,n,r)\lambda_1+p(k,m,n+1,r)\frac{\theta_3}{u_3}+p(k,m,n,r+1)\frac{\theta_4}{u_4}=p(k+1,m,n,r)\frac{\theta_1}{u_1}$ ・・・・・・（２１）
$p(k+1,m,n,r)\frac{\theta_1}{u_1}=p(k,m+1,n,r)\frac{\theta_2}{u_2}$ ・・・・・・（２２）
$p(k,m+1,n,r)\frac{1}{3}\frac{\theta_2}{u_2}=p(k,m,n+1,r)\frac{\theta_3}{u_3}$ ・・・・・・（２３）
$p(k,m+1,n,r)\frac{1}{3}\frac{\theta_2}{u_2}=p(k,m,n,r+1)\frac{\theta_4}{u_4}$ ・・・・・・（２４）
$p(k,m+1,n,r)\frac{1}{3t_{e2}}=p(k,m,n,r)\lambda_1$ ・・・・・・（２５）

これは流量の式と形が対応しています。式（２１）は式（３）に、式（２２）は式（２）に、式（２３）と（２４）は式（１）に対応しています。つまり、式（１）（２）（３）で

$\lambda_1$ → $p(k,m,n,r)\lambda_1$
$\theta_1$ → $p(k+1,m,n,r)\frac{\theta_1}{u_1}$
$\theta_2$ → $p(k,m+1,n,r)\frac{\theta_2}{u_2}$
$\theta_3$ → $p(k,m,n+1,r)\frac{\theta_3}{u_3}$
$\theta_4$ → $p(k,m,n,r+1)\frac{\theta_4}{u_4}$

と置き換えると、式（２１）（２２）（２３）になります。なお式（２５）は式（２１）（２２）（２３）から導くことが出来ます。式（１）（２）（３）を解くと式（４）〜（７）になったので、同じ形の式（２１）〜（２３）から式（４）〜（７）に対応する式が導かれるはずです。式（４）〜（７）に上記の対応を当てはめると以下の式になります。

$p(k+1,m,n,r)\frac{\theta_1}{u_1}=3p(k,m,n,r)\lambda_1$
$p(k,m+1,n,r)\frac{\theta_2}{u_2}=3p(k,m,n,r)\lambda_1$
$p(k,m,n+1,r)\frac{\theta_3}{u_3}=p(k,m,n,r)\lambda_1$
$p(k,m,n,r+1)\frac{\theta_4}{u_4}=p(k,m,n,r)\lambda_1$

これらに式（４）〜（７）を代入すると

$p(k+1,m,n,r)\frac{3\lambda_1}{u_1}=3p(k,m,n,r)\lambda_1$
$p(k,m+1,n,r)\frac{3\lambda_1}{u_2}=3p(k,m,n,r)\lambda_1$
$p(k,m,n+1,r)\frac{\lambda_1}{u_3}=p(k,m,n,r)\lambda_1$
$p(k,m,n,r+1)\frac{\lambda_1}{u_4}=p(k,m,n,r)\lambda_1$

よって

$p(k+1,m,n,r)\frac{1}{u_1}=p(k,m,n,r)$
$p(k,m+1,n,r)\frac{1}{u_2}=p(k,m,n,r)$
$p(k,m,n+1,r)\frac{1}{u_3}=p(k,m,n,r)$
$p(k,m,n,r+1)\frac{1}{u_4}=p(k,m,n,r)$

よって

$p(k+1,m,n,r)=p(k,m,n,r)u_1$ ・・・・・・（２６）
$p(k,m+1,n,r)=p(k,m,n,r)u_2$ ・・・・・・（２７）
$p(k,m,n+1,r)=p(k,m,n,r)u_3$ ・・・・・・（２８）
$p(k,m,n,r+1)=p(k,m,n,r)u_4$ ・・・・・・（２９）

式（２６）〜（２９）から積形式解

$p(k,m,n,r)=p(0,0,0,0)u_1^ku_2^mu_3^nu_4^r$

を導くことが出来るのは（今までの議論と同様に考えれば）明らかでしょう。