工場統計力学（建設中！）

もう少し複雑な待ち行列ネットワークの解析（１）

待ち行列ネットワークへの助走

先行エントリ：分岐型待ち行列の解析

今まで、

で単純な待ち行列ネットワークについて状態確率が積形式解になることを確かめてきました。今度は、下図のような

図１

もう少し複雑な待ち行列ネットワークについて積形式解が成り立つかどうかを調べることにします。この図は実は、下図のような２回ループを回るような工程を想定して作ったものです。

図２

図２では装置２終了後のロットの行先は確定的（１回目は装置３に進み、２回目は装置４に進み、３回目はシステムの外に出る）です。しかし今のところは装置２終了後のロットの行先の分岐を確率的に考えなければ積形式解を導くことが出来ないので図１では装置２終了後のロットの行先はそれぞれ１／３の確率で装置３、装置４、システム外、が選ばれるものとします。この待ち行列ネットワークに課される諸条件は以下のものです。

装置１へのロットの到着間隔は指数分布である。
全ての装置の処理時間は指数分布である。
装置２からの行先は確率的に（１／３ずつの確率で）選択される。

装置１の平均処理時間を $t_{e1}$ 、装置２の平均処理時間を $t_{e2}$ 、装置３の平均処理時間を $t_{e3}$ 、装置４の平均処理時間を $t_{e4}$ とします。さらに、装置１の利用率を $u_1$ 、装置２の利用率を $u_2$ 、装置３の利用率を $u_3$ 、装置４の利用率を $u_4$ とします。また、装置１でのスループットを $\theta_1$ 、装置２でのスループットを $\theta_2$ 、装置３でのスループットを $\theta_3$ 、装置４でのスループットを $\theta_4$ とします。図１の装置２と装置３と装置４の関係に注目すれば

$\theta_3=\theta_4=\frac{1}{3}\theta_2$ ・・・・・・（１）

であることが明らかです。また、装置１と装置２の関係に注目すれば

$\theta_1=\theta_2$ ・・・・・・（２）

であることは明らかです。装置１へ外部から入ってくるロットの流量を $\lambda_1$ で表すと、装置１に注目すれば

$\lambda_1+\theta_3+\theta_4=\theta_1$ ・・・・・・（３）

よって、式（３）に式（１）と式（２）を入力すれば

$\lambda_1+\frac{1}{3}\theta_2+\frac{1}{3}\theta_2=\theta_2$
$\lambda_1=\frac{1}{3}\theta_2$
$\theta_2=3\lambda_1$ ・・・・・・（４）

式（４）と式（２）から

$\theta_1=3\lambda_1$ ・・・・・・（５）

式（４）と式（１）から

$\theta_3=\lambda_1$ ・・・・・・（６）
$\theta_4=\lambda_1$ ・・・・・・（７）

これらは、図１の流量設定の元になったのが図２ですから、図２を見れば明らかなことです。もちろん

$\theta_1=\frac{u_1}{t_{e1}$ ・・・・・・（８）
$\theta_2=\frac{u_2}{t_{e2}$ ・・・・・・（９）
$\theta_3=\frac{u_3}{t_{e3}$ ・・・・・・（１０）
$\theta_4=\frac{u_4}{t_{e4}$ ・・・・・・（１１）

が成り立ちます。
「もう少し複雑な待ち行列ネットワークの解析（２）」に続きます。