Ｍ／１一般ネットワークの場合の積形式解存在の証明

先行エントリ：もう少し複雑な待ち行列ネットワークの解析（３）

ここでは一般的なネットワークを考えます。ステーションの数を $N$ とします。ただし、各ステーションは１台の装置から成り、装置の処理時間は指数分布であるとします。ネットワークの外からは一般的にどのステーションへもロットが到着する可能性があるし、ネットワークの外へは一般的にどのステーションからもロットが出て行く可能性があるとします。外から各ステーションへのロットの到着の時刻の間隔は指数分布であるとします。

ステーションを区別するために1から順番に番号をつけていきます。 $i$ 番目のステーションのスループットを $\theta_i$ で表します。また、 $i$ 番目のステーションに外から入ってくるスループットを $\lambda_i$ で表します。ステーション $i$ を終えたロットがステーション $j$ に進む確率を $r_{ij}$ で表します。そうすると、ステーション $j$ に入ってくる量 $\theta_j$ は

$\theta_j=\lambda_j+\Bigsum_{i=1}^N\theta_ir_{ij}$ ・・・・・・（１）

で表すことが出来ます。式（１）は $\theta$ についての連立一次方程式になっています。これが $\theta$ について解けると仮定します。（どういう場合に解けるかは、私にとって今後の宿題です。）　これを

$\theta_j=f_j(\vec~\lambda,R)$ ・・・・・・（２）

と表わすことにします。ただし $\vec~\lambda$ は $(\lambda_1,\lambda_2,....\lambda_N)$ を簡略的に表わしたものであり、 $R$ は $(r_{ij})$ を簡略的に表わしたものとします。
さて $a$ を任意の定数として、式（１）で

$\theta_i$ → $a\theta_i$
$\lambda_i$ → $a\lambda_i$

で置き換えると、やはり式（１）が成り立つので式（２）について

$f_j(a\vec~\lambda,R)=af_j(\vec~\lambda,R)$ ・・・・・・（３）

が成り立つことが分かります。一方、定義から

$\theta_j=\frac{u_j}{t_{ej}}$ ・・・・・・（４）

です。式（４）を変形して

$\frac{1}{t_{ej}}=\frac{\theta_j}{u_j}$ ・・・・・・（５）

状態 $(k,m,n,r,.....)$ を $\vec~k$ と略記することにします。また、状態 $\vec~k$ から、 $j$ 番目のステーションのロット数だけを＋１した状態を $\vec~k(+j)$ で表すことにします。そして、状態 $\vec~k$ と、状態 $\vec~k$ の $N$ 個の要素の内どれかひとつの要素だけを＋１した状態 $\vec~k(+j)$ の間の遷移の間に平衡が成立すると仮定します。そのようにすると局所平衡方程式は、