Ｍ／ｎ一般ネットワークの場合の積形式の証明（２）

待ち行列ネットワークへの助走

先行エントリ：Ｍ／ｎ一般ネットワークの場合の積形式の証明（１）


さて、状態\vec~kのj番目の要素（つまり、ステーションjでのロット数）をk_jと表すことにします。そうすると、局所平衡方程式は、

  • p(\vec~k(+j))\frac{min(k_j+1,m_j)}{t_{ej}}=p(\vec~k)\lambda_j+\Bigsum_{i=1}^Np(\vec~k(+i))\frac{min(k_i+1,m_i)}{t_{ei}}r_{ij}・・・・・・（６）

という形になります。式（５）を式（６）に代入して

  • p(\vec~k(+j))\frac{min(k_j+1,m_j)\theta_j}{m_ju_j}=p(\vec~k)\lambda_j+\Bigsum_{i=1}^Np(\vec~k(+i))\frac{min(k_i+1,m_i)\theta_i}{m_iu_i}r_{ij}・・・・・・（７）

式（７）を式（１）と比較すると、（１）で

  • \theta_j{\rightar}p(\vec~k(+j))\frac{min(k_j+1,m_j)\theta_j}{m_ju_j}
  • \lambda_j{\rightar}p(\vec~k)\lambda_j

と置き換えると（７）になることが分かるので、式（２）のf_j()を用いれば、式（７）は

  • p(\vec~k(+j))\frac{min(k_j+1,m_j)\theta_j}{m_ju_j}=f_j(p(\vec~k)\vec~\lambda)・・・・・・（８）

という形に解けるはずです。式（８）の右辺は式（３）を用いて

  • f_j(p(\vec~k)\vec~\lambda,R)=p(\vec~k)f_j(\vec~\lambda,R)

となります。よって式（８）は以下のようになります。

  • p(\vec~k(+j))\frac{min(k_j+1,m_j)\theta_j}{m_ju_j}=p(\vec~k)f_j(\vec~\lambda,R)・・・・・・（９）

式（９）に式（２）を代入して

  • p(\vec~k(+j))\frac{min(k_j+1,m_j)\theta_j}{m_ju_j}=p(\vec~k)\theta_j
  • p(\vec~k(+j))\frac{min(k_j+1,m_j)}{m_ju_j}=p(\vec~k)
  • p(\vec~k(+j))=\frac{m_ju_j}{min(k_j+1,m_j)}p(\vec~k)・・・・・・（１０）

式（１０）は、「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（２）」における式（８）と式（９）と本質的に同じなので、同様の考察から、その利用率がu_jに等しいＭ／Ｍ／m_j待ち行列における状態kの発生確率をp\left{M/M/m_j,u_j\right}(k)で表すと

  • p(\vec~k)=c_jp\left{M/M/m_j,u_j\right}(k_j)p(\vec~k(0j))・・・・・・（１１）

となることが導けます。ただし状態\vec~k(0j)は状態\vec~kのj番目の要素をゼロに置き換えた状態を表し、c_jは規格化定数を表します。以上の考察を全てのステーションについて行えば、

  • p(\vec~k)=p(\vec~0)\prod_{i=1}^Nc_ip\left{M/M/m_i,u_i\right}(k_i)・・・・・・（１１）

となることが分かります。ただし、状態\vec~0は、全てのステーションでロット数がゼロである状態を表します。また、「Ｍ／Ｍ／２→Ｍ／１待ち行列の解析」で行ったのと同じ考察をすれば

  • p(\vec~0)\prod_{i=1}^Nc_i=1

であることが分かり、さらに式（１１）が

  • p(\vec~k)=\prod_{i=1}^Np\left{M/M/m_i,u_i\right}(k_i)・・・・・・（１２）

と書くことが出来ることが分かります。このようにして、このネットワークが積形式解を持つことが証明できました。これで当初の目的（「積形式解、ジャクソン・ネットワーク」を参照）であったジャクソンネットワークにおける積形式解の存在の証明が出来ました。
「ジャクソン・ネットワークのサイクルタイム（１）」に続きます。