工場統計力学（建設中！）

直列のジャクソン・ネットワークでX-Factorが一番大きい構成

待ち行列ネットワークへの助走

先行エントリ：Ｍ／Ｍ／ｍ待ち行列ののX-Factor

直列のジャクソン・ネットワークでX-Factoerが一番大きい構成はどんな構成になるのでしょうか？　この問題を考える時、利用率が大きくなればX-Factoerが大きくなるのはあたりまえなので、利用率を固定してX-Factoerを比較する必要があります。
しかし、ネットワークにはステーションが複数あるので、どのステーションの利用率を基準にして考えるか問題になります。しかし各ステーションの利用率は連動していますので、どれかのステーションの利用率を固定すれば、全てのステーションの利用率を固定したことになります。
ここではボトルネック・ステーションの利用率 $u_b$ でステーションの利用率を代表させようと思います。またボトルネック・ステーションの処理時間を $t_{eb}$ で、装置台数を $m_b$ で表すことにします。また、任意のステーション $j$ について、利用率を $u_j$ で、処理時間を $t_{ej}$ で、装置台数を $m_j$ で表すことにします。スループットを $\lambda$ とすると、任意のステーション $j$ について

$\lambda=\frac{u_jm_j}{t_{ej}$

が成り立ちます。当然、ボトルネック・ステーションについても

$\lambda=\frac{u_bm_b}{t_{eb}$

が成り立ちますので

$\frac{u_jm_j}{t_{ej}}=\frac{u_bm_b}{t_{eb}}$
$u_j=\frac{m_bt_{ej}}{m_jt_{eb}}u_b$

となります。

「ジャクソン・ネットワークのサイクルタイム（１）」で

$CT=\Bigsum_{j=1}^N\left(\frac{m_j^{m_j-1}u_j^{m_j}}{m_j!(1-u_j)^2}p_{0j}+1\right)t_{ej}$

を導き出しましたが、これを「Ｍ／Ｍ／ｍ待ち行列ののX-Factor」での $X-Factor(M/M/m,u)$ を用いて書き直すと

$CT=\Bigsum_{j=1}^NX-Factor(M/M/m_j,u_j)t_{ej}$

となります。ところでボトルネック・ステーションの利用率 $u_b$ は、このネットワーク内のステーションの利用率の中で最大のはずですから、任意の $j$ について

$u_j{\le}u_b$

になります。「Ｍ／Ｍ／ｍ待ち行列ののX-Factor」から

もし[tex:u_1
- [tex:X-Factor(M/M/m,u_1)

でしたので

もしならば
- $X-Factor(M/M/m,u_1){\le}X-Factor(M/M/m,u_2)$

になります。よって

$CT=\Bigsum_{j=1}^NX-Factor(M/M/m_j,u_j)t_{ej}{\le}\Bigsum_{j=1}^NX-Factor(M/M/m_j,u_b)t_{ej}$ ・・・・・・（１）

となります。さらに、「Ｍ／Ｍ／ｍ待ち行列ののX-Factor」から

もし[tex:m_1
- $X-Factor(M/M/m_1,u)>X-Factor(M/M/m_2,u)$

でしたので

- （なぜなら $1{\le}m$ なので）

となります。これと式（１）から

$CT{\le}{\Bigsum_{j=1}^N}X-Factor(M/M/m_j,u_b)t_{ej}{\le}\Bigsum_{j=1}^NX-Factor(M/M/1,u_b)t_{ej}$
$=X-Factor(M/M/1,u_b)\Bigsum_{j=1}^Nt_{ej}$

よって

$CT{\le}X-Factor(M/M/1,u_b){\Bigsum_{j=1}^N}t_{ej}$
$\frac{CT}{\Bigsum_{j=1}^Nt_{ej}}{\le}X-Factor(M/M/1,u_b)$

ところで

$\frac{CT}{\Bigsum_{j=1}^Nt_{ej}}$

はこのネットワーク全体のX-Factoerにほかならないのでこれを $X-Factor(u_b)$ で表すと

$X-Factor(u_b){\le}X-Factor(M/M/1,u_b)$
$X-Factor(u_b){\le}\frac{u_b}{1-u_b}+1=\frac{1}{1-u_b}$

ということになります。つまり、直列のジャクソン・ネットワークでボトルネック・ステーションの利用率 $u_b$ を固定した時のX-Factoerの最大値は

$\frac{1}{1-u_b}$

ということになります。そして、これが最大になるのは、全てのステーションが１台の装置から成り、しかも利用率が等しい、つまり処理時間が等しい場合であることが分かります。
「直列のジャクソン・ネットワークのX-Factorの例」と「現実的なワーストケースの式への疑問（１）」に続きます。