ＰＡＳＴＡ（７）

「エルゴード性とは？（６）」で結論を出した

• 時間によって変化する確率変数がエルゴード的であるためには、にした時にの確率分布が、現在の値に関わらず同一の確率分布に収束すること

という条件を「ＰＡＳＴＡ（６）」で出した課題に当てはめてみます。ＰＡＳＴＡが成立する条件、すなわち、時間平均と到着時平均が等しくなる条件、は何か、ということです。考察する量をとすると、でＰＡＳＴＡが成立する必要条件の１つは「ＰＡＳＴＡ（６）」での議論から

• １．の値が、期間にジョブが到着する確率と独立であること

でした。あと２つは

• ２．がエルゴード的であること

と

• ３．のジョブ到着時の値を並べた数列がエルゴード的であること

ということですが、「エルゴード性とは？（６）」での結論を用いて上記２を

• ２’．にした時にの確率分布が、現在の値に関わらず同一の確率分布に収束すること

に置き換えた上で上記３を考えるとならばになるので、以下の３’が成り立ちます。

• ３’．にした時にの確率分布が、現在の値に関わらず同一の確率分布に収束すること

よって数列もエルゴード的となり、３が成り立ちます。よってＰＡＳＴＡが成立するためには１と２’が成り立てばよい、ということになります。

１が成り立つかどうかは、の値が、より未来の時点でのジョブの到着の確率に影響を与えるかどうかによりますから（影響を与えなければ１が成り立つ）、これを調べるのはわりと簡単です。では、２’が成り立つかどうかをどのように判断すればよいのでしょうか？
マルコフチェーンの場合は簡単ですが、一般の場合にはどうすればよいのか分かりません。ここでちょっと攻めあぐねてしまいます。