エルゴード性とは？（６）
「エルゴード性とは？（５）」の続きです。
そこで取り上げたマルコフチェーンの例のエルゴード性を証明するために、こう考えました。
上の２つのグラフにあるように、今の状態が０であろうと１であろうと１５回あとの状態は状態０になるのが約１／３、状態１になるのが約２／３の確率分布になります。つまり、１５回先の状態の確率は今の状態とほぼ独立になるということを意味します。そこで、１５回目と３０回目の状態の間もほぼ独立になります。３０回目と４５回目の間もほぼ独立になります。このように１５回間隔で見ていけばほぼ独立な状態の列になります。そこでこれらの時間平均はほぼ
になります。同様に１回目の状態と１６回目、３１回目・・・・と１５回間隔で状態を取り出して時間平均をとれば（０回目の状態と１回目の状態の確率は独立ではないですが、それにもかかわらず）同様にこれらの間ではほぼ独立な状態の列になるのでその時間平均はほぼ
になります。同様なことを３回目、４回目・・・・に適用すればすべて、ほぼ
となり、結局、元の状態の列の時間平均もほぼ２／３になることが分かります。
今回は１５回間隔で見ていきましたが、この間隔をどんどん大きくしていけば確率の独立性が高くなるので、時間平均は（ほぼ、ではなくて正確に）２／３になることが分かります。集合平均はもちろん２／３になりますから、このことによって
- 集合平均＝時間平均
が、つまりエルゴード性が証明されました。
ここから分かることは、エルゴード性が成り立つためには、
- 定常状態確率分布が存在すること
が充分条件だということです。もう少し正確に言えば、
- 時間によって変化する確率変数
がエルゴード的であるためには、
にした時に
に関わらず同一の確率分布に収束すること
ということです。この条件が成立すればマルコフチェーンでなくてもエルゴード性が成り立つのだと、私は納得しました。（厳密に証明出来たのかどうかは大学で数学を専攻していなかったので、自信がありません。）
「ＰＡＳＴＡ（７）」と「サイバネティックス 第２章「群と統計力学」から（１）」に続きます。
