バーコフの個別エルゴード定理　記述３（その２）

「バーコフの個別エルゴード定理　記述３」の続きです。

$f^*(x)$ がある範囲の値をとるような $x$ の集合の測度は、ほとんど常に１か０となる。

を解釈します。

図の２つの赤線ではさんだ範囲に $f^*(x)$ が値を取るような $x$ の集合（灰色の部分）を $E_1$ と表します。つまり

$E_1=\{x|a{\le}f^*(x){\le}b\}$

です。そして $E_1$ の測度が０でも１でもないものと仮定します。すると、 $E_1$ の全ての要素に変換 $T$ を行った $Tx$ からなる集合を $E_2$ と表します。「バーコフの個別エルゴード定理　記述３」から

$f^*(Tx)=f^*(x)$ ・・・・・・（１）

ですので、 $E_2$ の全ての要素についても $f^*(x)$ は上記の図に示した範囲に入るはずです。よって $E_1$ の定義から

$E_1{\supset}E_2$ ・・・・・・（２）

になります。つきに $E_1$ の補集合 $E_1^C$ を考えます。 $E_1^C$ の全ての要素に変換 $T$ を行った $Tx$ からなる集合を $E_2'$ と表します。ところで変換 $T$ は集合 $E$ を $E$ 自身に変換するので、 $E_1^C$ を変換した集合は、 $E$ を変換した集合 $E_2$ の補集合 $E_2^C$ です。よって

$E_2'=E_2^C$

ここで式（１）を用いると、 $E_2^C$ の全ての要素についても $f^*(x)$ は上記の図に示した範囲から外れるはずです。よって $E_1$ の定義から

$E_1^C{\supset}E_2^C$

よって

$E_1{\subset}E_2$ ・・・・・・（３）

になります。式（２）と式（３）から

$E_1=E_2$

これは、変換 $T$ に対して不変な、測度が０でも１でもない集合が存在することになるので「測度可遷性」に反します。よって仮定の「 $E_1$ の測度が０でも１でもない」が否定されるので、 $E$ （すなわち「 $f^*(x)$ がある範囲の値をとるような $x$ の集合」）の測度は０か１、ということになります。
$f^*(x)$ の範囲を、１つの値だけを含むように狭めることで、 $f^*(x)$ がある値をとるような $x$ の集合の測度は０か１になるということになります。これが

これは $f^*(x)$ がほとんど常に一定でなければ不可能なことである。

の意味するところであると理解しました。「バーコフの個別エルゴード定理　記述３（その３）」に続きます。