QNA（１０）（１１）へのメモ（２） - 工場統計力学（建設中！）

「QNA（１０）（１１）へのメモ（１）」の続きです。

合流される元の流れが１個しかない場合、つまりまったく合流がない場合には、合流元 $c_1^2$ と合流後 $c_H^2$ で２乗変動係数が同じでなければならないはずなのに式(34)ではそうはなっていない。

ということの意味を述べます。
合流される元の流れが１個しかない場合には、合流元の到着レートは

$\lambda_1$

だけであり、式(35)は

$v=\left[\Bigsum_i\left(\lambda_i/\Bigsum_k\lambda_k\right)^2\right]^{-1}=\left[\Bigsum_i\left(\lambda_i/\lambda_1\right)^2\right]^{-1}=\left[\left(\lambda_1/\lambda_1\right)^2\right]^{-1}=[1^2]^{-1}=1$

よって

$v=1$

これを式(34)

$w=[1+2.1(1-\rho)^{1.8}v]^{-1}$ ・・・・・・(34)

に代入すると

$w=[1+2.1(1-\rho)^{1.8}v]^{-1}=[1+2.1(1-\rho)^{1.8}]^{-1}$ ・・・・・・（ア）

となって必ずしも $w=1$ になりません。一方、式(33)は

$c_H^2=w\Bigsum_i\left(\lambda_i/\Bigsum_k\lambda_k\right)c_i^2+1-w$ ・・・・・・(33)

ですが、合流される元の流れが１個しかない場合には、上と同様に考えて

$c_H^2=wc_1^2+1-w$

よって $w=1$ かあるいは $c_1^2=1$ かのいずれかが成り立たなければ

$c_H^2=c_1^2$ ・・・・・・（イ）

にならない。ところが今、合流元の流れの到着間隔の２乗変動係数 $c_1^2$ には何も条件をつけていないので $c_1^2=1$ とは言えない。また式（ア）から必ずしも $w=1$ とは言えない。よって式（イ）とは言えないということです。これは矛盾です。
ここまでのところをまとめると、式(34)は $(1-\rho)$ の指数は1.8ではなくて2にならなければならない、さらに、 $v=1$ で $w=1$ にならなければならない、ということです。このためWhittは式(34)を改良して

$w=[1+4(1-\rho)^2(v-1)]^{-1}$ ・・・・・・(ウ)

（式(29)の添え字 $j$ を落とした）を用いた、ということです。

これで重ね合わせのための一連の式が揃いました。それをまとめて記すと

$c_H^2=w\Bigsum_i\left(\lambda_i/\Bigsum_k\lambda_k\right)c_i^2+1-w$ ・・・・・・(33)
$w=[1+4(1-\rho)^2(v-1)]^{-1}$ ・・・・・・(ウ)
$v=\left[\Bigsum_i\left(\lambda_i/\Bigsum_k\lambda_k\right)^2\right]^{-1}$ ・・・・・・(35)

です。

これらの式が導出された経過をまとめると、まず漸近法による近似

・・・・・・(31)
- 「W. Whitt,「再生過程による点過程の近似、?：２つの基本的方法」Oper. Res., 30, No.1 (January-February 1982),pp.125-47.」参照

が出発点であり、それを改良して式(33)を導き、式（ウ）と(35)は広範囲なシミュレーションと理論的考察の両方から導き出された、ということになります。

この論文「Word Whitt: The Queueing Network Analyzer」の翻訳が完了したら、次は上記論文にトライする必要がありそうです。