QNA読解：4.3　重ね合わせ（２） - 工場統計力学（建設中！）

「QNA読解：4.3　重ね合わせ（１）」の続きです。
Whittは前回の最後に登場した式(34)

は改善されるべきだ、と言います。

- - ところで論文には「重み関数(58)はある重要な一貫性条件を満足することに失敗する。」と記述されていますが、これは誤植で本当は「重み関数(34)は」でしょう。

Whittは改善が必要な理由を２つ挙げています。

①合流される元の流れが１個しかない場合、つまりまったく合流がない場合には、合流元 $c_1^2$ と合流後 $c_H^2$ で２乗変動係数が同じでなければならないはずなのに式(34)ではそうはなっていない。
②新しい理論によれば式(34)の $(1-\rho)$ の指数は1.8ではなくて2にならなければならない。

まず①について述べます。
合流される元の流れが１個しかない場合には、合流元の到着レートは

だけであり、式(35)は

$v=\left[\Bigsum_i\left(\lambda_i/\Bigsum_k\lambda_k\right)^2\right]^{-1}=\left[\Bigsum_i\left(\lambda_i/\lambda_1\right)^2\right]^{-1}=\left[\left(\lambda_1/\lambda_1\right)^2\right]^{-1}=[1^2]^{-1}=1$

よって

これを式(34)

に代入すると

となって必ずしも $w=1$ になりません。一方、式(33)は

ですが、合流される元の流れが１個しかない場合には、上と同様に考えて

よって $w=1$ かあるいは $c_1^2=1$ かのいずれかが成り立たなければ

にならない。ところが今、合流元の流れの到着間隔の２乗変動係数 $c_1^2$ には何も条件をつけていないので $c_1^2=1$ とは言えない。また式（ア）から必ずしも $w=1$ とは言えない。よって式（イ）とは言えないということです。これが上の①の意味です。

次に②について述べたいのですが、この「新しい理論」というのは以下に書かれているとのことで、私はこれを入手出来ていません。

ですから今の私はこれ以上の説明が出来ません。

以上の①、②からWhittは式(34)を改良した式

を提案しました。（説明を簡単にするために、論文中の式(29)の添え字 $j$ を落としました。）

ともかくこれで重ね合わせのための一連の式が揃いました。それをまとめて記すと

$c_H^2=w\Bigsum_i\left(\lambda_i/\Bigsum_k\lambda_k\right)c_i^2+1-w$ ・・・・・・(33)
$w=[1+4(1-\rho)^2(v-1)]^{-1}$ ・・・・・・(ウ)
$v=\left[\Bigsum_i\left(\lambda_i/\Bigsum_k\lambda_k\right)^2\right]^{-1}$ ・・・・・・(35)

です。

これらの式が導出された経過をまとめると、まず漸近法による近似

・・・・・・(31)
- 「W. Whitt,「再生過程による点過程の近似、I：２つの基本的方法」Oper. Res., 30, No.1 (January-February 1982),pp.125-47.」参照

が出発点であり、それを改良して式(33)を導き、式（ウ）と(35)は広範囲なシミュレーションと理論的考察の両方から導き出された、ということになります。

「QNA読解：4.4 分岐」に続きます。