工場統計力学（建設中！）

QNA読解：5.1 GI/G/1待ち行列（１）

待ち行列ネットワークへの助走

上位エントリー：Word Whitt: The Queueing Network Analyzerの構成

「QNA読解：V. ノードでの混雑」の続きです。このセクションではGI/G/1待ち行列の近似を扱います。最初にこのセクションの構成を概観します。

待ち時間（確率変数）をで表わす。
- 平均待ち時間 $EW$ の近似
ノードに存在するジョブの数（確率変数）をで表わす。
- $N$ が正である確率 $P(N>0)$
- $N$ の平均値 $EN$

- が正である確率（つまり待ち時間が存在する確率）の近似
  - ややこしいことにこの論文では $P(W>0)$ を $\sigma$ という記号でも表わしています。つまり $\sigma{\eq}P(W>0)$ 。これは標準偏差と紛らわしいですが、以下では $\sigma$ は全て、待ち時間が存在する確率[tex:P(W>0)を表わしています。

待ち時間が存在する時の待ち時間をで表わす。つまりの場合を除いたです。
- $D$ の平均値 $ED$ は $ED=EW/\sigma$ 。
- の２乗変動係数
  - $D$ を持ち出してきた背景には、 $D$ は $W$ よりも処理時間分布の依存が強い（到着間隔時間分布への依存が弱い）という事実があります（残念ながら今の私はそれを示すことが出来ません）。よって $c_D^2$ を処理時間分布のみから近似してしまおうとしているのです。
  - を導くのにという量が必要になります。ただしは処理時間の確率変数です。このを、
    - ケース１： $c_s^2{\ge}1$ の場合は処理時間分布に超指数分布を仮定し
    - ケース２： $c_s^2<1$ の場合はアーラン分布を仮定して
  - 求めています。
- が求まったことから
  - $Var(D)$
  - $E(D^2)$
  - $c_W^2$
  - $Var(W)$
  - $E(W^2)$ を求めます。

- の確率分布そのものの近似
  - これはの分布を以下のように推定して（かなり乱暴ではないか？）、それとからの分布を構成しています。
    - ケース１： $c_D^2>1.01$ の場合は超指数分布
    - ケース２： $0.99{\le}c_D^2{\le}1.01$ の場合は指数分布
    - ケース３： $0.501{\le}c_D^2<0.99$ の場合は２つの指数分布の畳み込み
    - ケース４： $c_D^2<0.501$ の場合は２次のアーラン分布

- $E(N^2)$
- $Var(N)$ を求めます。

以上が概観です。

「QNA読解：5.1 GI/G/1待ち行列（２）」に続きます。