QNA読解：5.1 GI/G/1待ち行列（２） - 工場統計力学（建設中！）

上位エントリー：Word Whitt: The Queueing Network Analyzerの構成

「QNA読解：5.1 GI/G/1待ち行列（１）」の続きです。

平均待ち時間 $EW$

まずは、平均待ち時間 $EW$ を近似します。これには（QNA読解：I．導入とまとめ（２）でも登場しましたが）KraemerとLangenbach-Belzの近似という以下の式を使っています。

$EW=\tau\rho(c_a^2+c_s^2)g/2(1-\rho)$ ・・・・(44)
ただし
- $g{\eq}g(\rho,c_a^2,c_s^2)=\left\{{\exp\left[-\frac{2(1-\rho)}{3\rho}\frac{(1-c_a^2)^2}{c_a^2+c_s^2}\right]\text{ c_a^2<1}\atop{1}\text{ c_a^2{\ge}1}}$ ・・・・(45)

$c_a^2{\ge}1$ の場合は式(44)は

$EW=\tau\frac{c_a^2+c_s^2}{2}\frac{\rho}{1-\rho}$

となって、Factory Physicsに登場するKingmanの近似式に一致します。
残念ながら、今の私は、KraemerとLangenbach-Belzの近似の導出方法が分かりません。

ノードにジョブが１個以上存在する確率 $P(N>0)$ と、ノード内の平均ジョブ数 $EN$

ノードにジョブが１個以上存在するということは、装置が処理中であるということに等しいですから、装置の利用率 $\rho$ に等しいことになります。よって

$P(N>0)=\rho$ ・・・・(46)

次に平均ジョブ数 $EN$ は、待っているジョブの数と処理中のジョブの数に分けて考え、最後にその両者を足して求めます。
待っているジョブの数は、リトルの法則から、

（スループット）×（待ち時間） $=\lambda{EW}$ ・・・・（ア）

処理中のジョブ数は

$\rho$ ・・・・（イ）

なので $EN$ は（ア）と（イ）を足して

$EN=\rho+\lambda{EW}$ ・・・・(47)

となります。

待ち時間が存在する確率 $P(W>0)$

ややこしいことにこの論文では $P(W>0)$ を $\sigma$ という記号でも表わしています。つまり $\sigma{\eq}P(W>0)$ です。これは標準偏差と紛らわしいですが、ここしばらくは論文に従って $\sigma$ を $P(W>0)$ の意味で使用します。
$\sigma{\eq}P(W>0)$ についても別のKraemerとLangenbach-Belzの近似式があるようで、論文はこれを用いています。これは

$\sigma{\eq}P(W>0)=\rho+(c_a^2-1)\rho(1-\rho)h(\rho,c_a^2,c_s^2)$ ・・・・(48)
ただし
- $h(\rho,c_a^2,c_s^2)=\left\{{\frac{1+c_a^2+\rho{c_s^2}}{1+\rho(c_s^2-1)+\rho^2(4c_a^2+c_s^2)}\text{ c_a^2<1}\atop{\frac{4\rho}{c_a^2+\rho^2(4c_a^2+c_s^2)}}\text{ c_a^2{\ge}1}}$ ・・・・(49)