工場統計力学（建設中！）

QNA読解：5.1 GI/G/1待ち行列（４）

待ち行列ネットワークへの助走

上位エントリー：Word Whitt: The Queueing Network Analyzerの構成

「QNA読解：5.1 GI/G/1待ち行列（３）」の続きです。

ケース２： $c_s^2<1$ の場合

処理時間の分布として $k$ 次のアーラン分布 $E_k$ を仮定します。この分布の確率密度関数は

$f(t)=\frac{\lambda^kt^{k-1}}{(k-1)!}\exp(-\lambda{t})$ 、 $t{\ge}0$ ・・・・（ア）

です。しかし、今回は $d_s^3$ を求めるためには式（ア）を用いず、同一の指数分布を持つ互いに独立な $k$ 個の確率変数の和の分布が $k$ 次のアーラン分布 $E_k$ になることを利用します。（アーラン分布参照）　平均 $\tau/k$ の指数分布を持つ $k$ 個の確率変数 $X_i$ を考えます。すると $E_k$ は

$E_k=\Bigint_{i=1}^kX_i$

と表わされます。すると

- $=kE(X_1^3)+3k(k-1)E(X_1^2)E(X_1)+k(k-1)(k-2)(EX_1)^3$ ・・・・（イ）

ここで

$E(X_1)=\frac{\tau}{k}$ ・・・・（ウ）

さらに、この指数分布の確率密度分布は

$g(t)=\frac{k}{\tau}\exp{-\frac{k}{\tau}t}$ ・・・・（エ）

と書けるので

$E(X_1^2)=\Bigint_0^{\infty}t^2\frac{k}{\tau}\exp{-\frac{k}{\tau}t}dt$ ・・・・（オ）

ここで「アーラン分布」の式(4)

$\Bigint\0^{\infty}t^m\exp(-\lambda{t})dt=\frac{m!}{\lambda^{m+1}}$ ・・・・(4)

を用いれば（オ）は

$E(X_1^2)=\frac{k}{\tau}\frac{2!}{\left(\frac{k}{\tau}\right)^3}=\frac{2\tau^2}{k^2}$ ・・・・（カ）

次に

$E(X_1^3)=\Bigint_0^{\infty}t^3\frac{k}{\tau}\exp{-\frac{k}{\tau}t}dt$ ・・・・（キ）

やはり「アーラン分布」の式(4)を用いれば（キ）は

$E(X_1^2)=\frac{k}{\tau}\frac{3!}{\left(\frac{k}{\tau}\right)^4}=\frac{6\tau^3}{k^3}$ ・・・・（ク）

（イ）に（ウ）、（カ）、（ク）を代入すると

$E(E_k^3)=\left(\frac{\tau}{k}\right)^3[6k+6k(k-1)+k(k-1)(k-2)]$ ・・・・（ケ）

ところで

$E(E_k)=E(X_1+...+X_k)=kE(X_1)=\tau$ ・・・・（コ）

よって（ケ）と（コ）から

- $=\frac{k^2+3k+2}{k^2}=\frac{(k+2)(k+1)}{k^2}=\left(1+\frac{2}{k}\right)\left(1+\frac{1}{k}\right)$ ・・・・（サ）

また、{tex:E_k]の２乗変動係数は「アーラン分布」で示したように

$c_s^2=k^{-1}$

なので（サ）から

$d_s^3=(2c_s^2+1)(c_s^2+1)$ ・・・・(52)

$c_D^2$ の近似まとめ

以上、結果まとめますと、 $D$ （つまり $W=0$ の場合を除いた $W$ ）の２乗変動係数 $c_D^2$ の近似式は

$c_D^2=2\rho-1+4(1-\rho)d_s^3/3(c_s^2+1)^2$ ・・・・(50)
ただし
- の場合
  - $d_s^3=3c_s^2(1+c_s^2)$ ・・・・(51)
- の場合
  - $d_s^3=(2c_s^2+1)(c_s^2+1)$ ・・・・(52)

$Var(D)$

$Var(D)=(ED)^2c_D^2$ ・・・・（シ）

ここで「QNA読解：5.1 GI/G/1待ち行列（２）」の式(ウ)

$ED=EW/\sigma$ ・・・・（ウ）

を用いると（シ）は

$Var(D)=(EW)^2c_D^2/\sigma^2$

$E(D^2)$

$E(D^2)=Var(D)+(ED)^2$ ・・・・(53)

$c_W^2$

$c_W^2=\frac{E(W^2)}{(EW)^2}-1=\frac{\sigma{E}(D^2)}{\sigma{ED}^2}-1=\frac{c_D^2+1-\sigma}{\sigma}$

$Var(W)$

$Var(W)=(EW)^2c_W^2$ ・・・・(54-1)

$E(W^2)$

$E(W^2)=Var(W)+(EW)^2$ ・・・・(54-2)

「QNA読解：5.1 GI/G/1待ち行列（５）」に続きます。