QNA読解：5.1 GI/G/1待ち行列（７） - 工場統計力学（建設中！）

を導出しました。今度はこれをGI/G/1用に補正します。と言っても論文は $Var(N)$ ではなく２乗変動係数 $c_N^2$ の補正を求めています。しかし、

ですから、 $c_N^2$ を近似出来れば $Var(N)$ も近似出来ます。(66-1)から

を（ア）に代入すれば

論文では、この式をGI/G/1のために以下のように補正しています。

ただし $Y_1$ は式(63)で $EW$ については「QNA読解：5.1 GI/G/1待ち行列（２）」に登場した式(44)、つまり

$EW=\tau\rho(c_a^2+c_s^2)g/2(1-\rho)$ ・・・・(44)
ただし
- $g{\eq}g(\rho,c_a^2,c_s^2)=\left\{{\exp\left[-\frac{2(1-\rho)}{3\rho}\frac{(1-c_a^2)^2}{c_a^2+c_s^2}\right]\text{ c_a^2<1}\atop{1}\text{ c_a^2{\ge}1}}$ ・・・・(45)

で求め、 $Var(W)$ については「QNA読解：5.1 GI/G/1待ち行列（４）」に登場した式(54-1)

で求めた値を入れて計算した $Var(W)$ の値です。これに対して $Y_2$ を掛けることによって補正をしています。 $Y_2$ は

です。この式の分母で $\max$ を用いているのは、計算上ゼロで割ることがないように、ということです。ですから実質は

です。私はなぜ、これが補正になるのか理解できません。ただ、M/G/1の場合には

になることを示すことは出来ます。 $\sigma$ は待ちが存在する確率 $P(W>0)$ でした。そして $\sigma$ は「QNA読解：5.1 GI/G/1待ち行列（２）」に登場した式(48)(49)

$\sigma{\eq}P(W>0)=\rho+(c_a^2-1)\rho(1-\rho)h(\rho,c_a^2,c_s^2)$ ・・・・(48)
ただし
- $h(\rho,c_a^2,c_s^2)=\left\{{\frac{1+c_a^2+\rho{c_s^2}}{1+\rho(c_s^2-1)+\rho^2(4c_a^2+c_s^2)}\text{ c_a^2<1}\atop{\frac{4\rho}{c_a^2+\rho^2(4c_a^2+c_s^2)}}\text{ c_a^2{\ge}1}}$ ・・・・(49)

によって近似的に計算されます。ここでM/G/1の場合を考えると $c_a=1$ ですので、式(48)から

になります。これを（ウ）に代入すると $Y_2=1$ になることは明らかです。

ここで（エ）の意味をもう少し検討します。到着したジョブが待ちになる確率 $P(W>0)$ は、到着した時点で装置がビジーである確率に等しいです。ＰＡＳＴＡにより、到着した時点で装置がビジーである確率は、時間平均で見た装置がビジーである確率に等しく、これは利用率 $\rho$ に等しいことが分かります。GI到着の場合はもはやＰＡＳＴＡが成り立ちませんので、到着時に装置がビジーである確率 $\sigma{\eq}P(W>0)$ と時間平均で見た装置がビジーである確率 $\rho$ は等しくありません。その場合は $Y_2$ は１に等しくなりません。