ジャクソンネットワークの積形式解の存在（１）

待ち行列ネットワークのステーションの数を $N$ とします。ステーションを区別するために1から順番に番号をつけていきます。 $i$ 番目のステーションは $m_i$ 台の装置から成り、装置の処理時間は指数分布であるとします。外から各ステーションへのジョブの到着の時刻の間隔も指数分布であるとします。 $i$ 番目のステーションのスループットを $\theta_i$ で表します。また、 $i$ 番目のステーションに外から入ってくるスループットを $\lambda_i$ で表します。ステーション $i$ を終えたジョブがステーション $j$ に進む確率を $r_{ij}$ で表します。そうすると、ステーション $j$ に入ってくる量 $\theta_j$ は

$\theta_j=\lambda_j+\Bigsum_{i=1}^N\theta_ir_{ij}$ ・・・・・・（１）

で表すことが出来ます。式（１）は $\theta$ についての連立一次方程式になっています。これが $\theta$ について解けると仮定します。（どういう場合に解けるかは、私にとって今後の宿題です。）
これを、

$\theta_j=f_j(\vec~\lambda,R)$ ・・・・・・（２）

と表わすことにします。ただし $\vec~\lambda$ は $(\lambda_1,\lambda_2,....\lambda_N)$ を簡略的に表わしたものであり、 $R$ は $(r_{ij})$ を簡略的に表わしたものとします。さて $a$ を任意の定数として、式（１）で

$\theta_i$ → $a\theta_i$
$\lambda_i$ → $a\lambda_i$

で置き換えると、やはり式（１）が成り立つので式（２）について

$f_j(a\vec~\lambda,R)=af_j(\vec~\lambda,R)$ ・・・・・・（３）

が成り立つことが分かります。一方、定義から

$\theta_j=\frac{m_ju_j}{t_{ej}}$ ・・・・・・（４）

です。式（４）を変形して

$\frac{1}{t_{ej}}=\frac{\theta_j}{m_ju_j}$ ・・・・・・（５）

となります。ネットワークの「状態」を各ステーションで待っている、あるいは処理中であるジョブの数の組 $(k,m,n,r,.....)$ で定義します。さらに状態 $(k,m,n,r,.....)$ を $\vec~k$ と略記することにします。また、 $j$ 番目のステーションのジョブ数を $k_j$ で表します。また、状態 $\vec~k$ から、 $j$ 番目のステーションのジョブ数だけを＋１した状態を $\vec~k(+j)$ で表すことにします。そして、状態 $\vec~k(+j)$ について以下のような局所平衡方程式が成立すると仮定します。

$p(\vec~k(+j))\frac{\min(k_j+1,m_j)}{t_{ej}}=p(\vec~k)\lambda_j+\Bigsum_{i=1}^Np(\vec~k(+i))\frac{\min(k_i+1,m_i)}{t_{ei}}r_{ij}$ ・・・・・・（６）

これの意味するところは、

状態の時にステーションからジョブの処理が完了して別の状態に遷移する確率のレート（つまりあたりの確率）
- （なお、どの状態に遷移するかはそのジョブが次にどのステーションに進むかによって異なります。ステーション $m$ に進むのであれば、状態は $\vec~k(+m)$ ですし、ネットワークの外へ出るのであれば状態は $\vec~k$ です。）