工場統計力学（建設中！）

ジャクソンネットワークの積形式解の存在（３）

待ち行列ネットワークへの助走

「ジャクソンネットワークの積形式解の存在（２）」の続きです。
今までの考察で、局所平衡方程式は

$p(\vec~k(+j))\frac{min(k_j+1,m_j)}{t_{ej}}=p(\vec~k)\lambda_j+\Bigsum_{i=1}^Np(\vec~k(+i))\frac{min(k_i+1,m_i)}{t_{ei}}r_{ij}$ ・・・・・・（６）

でした。
「ジャクソンネットワークの積形式解の存在（１）」の式（５）

$\frac{1}{t_{ej}}=\frac{\theta_j}{m_ju_j}$ ・・・・・・（５）

を式（６）に代入して

$p(\vec~k(+j))\frac{min(k_j+1,m_j)\theta_j}{m_ju_j}=p(\vec~k)\lambda_j+\Bigsum_{i=1}^Np(\vec~k(+i))\frac{min(k_i+1,m_i)\theta_i}{m_iu_i}r_{ij}$ ・・・・・・（１２）

式（１２）を「ジャクソンネットワークの積形式解の存在（１）」の式（１）

$\theta_j=\lambda_j+\Bigsum_{i=1}^N\theta_ir_{ij}$ ・・・・・・（１）

と比較すると、（１）で

$\theta_j{\rightar}p(\vec~k(+j))\frac{min(k_j+1,m_j)\theta_j}{m_ju_j}$
$\lambda_j{\rightar}p(\vec~k)\lambda_j$

と置き換えると（１２）になることが分かるので、「ジャクソンネットワークの積形式解の存在（１）」の式（２）

$\theta_j=f_j(\vec~\lambda,R)$ ・・・・・・（２）

の $f_j()$ を用いれば、式（１２）は

$p(\vec~k(+j))\frac{min(k_j+1,m_j)\theta_j}{m_ju_j}=f_j(p(\vec~k)\vec~\lambda,R)$ ・・・・・・（１３）

という形に解けるはずです。式（１３）の右辺は「ジャクソンネットワークの積形式解の存在（１）」の式（３）

$f_j(a\vec~\lambda,R)=af_j(\vec~\lambda,R)$ ・・・・・・（３）

を用いて

$f_j(p(\vec~k)\vec~\lambda,R)=p(\vec~k)f_j(\vec~\lambda,R)$

となります。よって式（１３）は以下のようになります。

$p(\vec~k(+j))\frac{min(k_j+1,m_j)\theta_j}{m_ju_j}=p(\vec~k)f_j(\vec~\lambda,R)$ ・・・・・・（１４）

式（１４）に式（２）を代入して

$p(\vec~k(+j))\frac{min(k_j+1,m_j)\theta_j}{m_ju_j}=p(\vec~k)\theta_j$
$p(\vec~k(+j))\frac{min(k_j+1,m_j)}{m_ju_j}=p(\vec~k)$
$p(\vec~k(+j))=\frac{m_ju_j}{min(k_j+1,m_j)}p(\vec~k)$ ・・・・・・（１５）

式（１５）は、「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（２）」における式（８）と式（９）と本質的に同じなので、同様の考察から、その利用率が $u_j$ に等しいＭ／Ｍ／ $m_j$ 待ち行列における状態 $k$ の発生確率を $p\left{M/M/m_j,u_j\right}(k)$ で表すと

$p(\vec~k)=c_jp\left{M/M/m_j,u_j\right}(k_j)p(\vec~k(0j))$ ・・・・・・（１６）

となることが導けます。ただし状態 $\vec~k(0j)$ は状態 $\vec~k$ の $j$ 番目の要素 $k_j$ の値をゼロに置き換えた状態を表し、 $c_j$ は規格化定数を表します。以上の考察を全てのステーションについて行えば、

$p(\vec~k)=p(\vec~0)\prod_{i=1}^Nc_ip\left{M/M/m_i,u_i\right}(k_i)$ ・・・・・・（１７）

となることが分かります。ただし、状態 $\vec~0$ は、全てのステーションでジョブ数がゼロである状態を表します。
次に、規格化定数を求めます。まず、

$\Bigsum_{k_1=0}^{\infty}\Bigsum_{k_2=0}^{\infty}....\Bigsum_{k_N=0}^{\infty}p(\vec~k)=1$ ・・・・・・（１８）

でなければなりません。（１８）に（１７）を代入すると

$p(\vec~0)\prod_{i=1}^Nc_i\Bigsum_{k_i=0}^{\infty}p\left{M/M/m_i,u_i\right}(k_i)=1$ ・・・・・・（１９）

ところが $i$ の値がどの値であっても

$\Bigsum_{k_i=0}^{\infty}p\left{M/M/m_i,u_i\right}(k_i)=1$

が成り立つので、式（１９）は

$p(\vec~0)\prod_{i=1}^Nc_i=1$ ・・・・・・（２０）

となります。式（１７）は

$p(\vec~k)=p(\vec~0)\prod_{i=1}^Nc_i\prod_{i=1}^Np\left{M/M/m_i,u_i\right}(k_i)$ ・・・・・・（２１）

と書けるので、式（２０）を用いれば

$p(\vec~k)=\prod_{i=1}^Np\left{M/M/m_i,u_i\right}(k_i)$ ・・・・・・（２２）

となります。これで、ジャクソン・ネットワークが積形式解を持つことが証明できました。