複数クラスを持つＭ／Ｍ／１待ち行列（２）

待ち行列ネットワークへの助走

「複数クラスを持つＭ／Ｍ／１待ち行列（１）」の続きです。
「複数クラスを持つＭ／Ｍ／１待ち行列（１）」の式（７）

  • P(S)=(1-u)\prod_{i=1}^Nu_{c(i)}・・・・・（７）

が、クラスの区別をなくして考えた時のＭ／Ｍ／１の定常状態確率の式

  • p_k=u_k(1-u)・・・・・（８）

（「Ｍ／Ｍ／１における待ち時間の式の導出（２）」の式（９）参照）と矛盾していないかどうかを確認します。
状態Sでk個のジョブが存在するとします。その最後の（すなわちk番目の）ジョブのクラスc(k)をクラスjに置き換えたものをS[c(k){\leftar}j]と表すことにします。するとその状態の定常状態確率はP(S[c(k){\leftar}j])で表されます。ここでc(k)をとり得る全ての値（1からQまで）について変えた全ての状態の確率の和を考えP(S[k:all])で表すことにします。するとこれは式（７）より

  • P(S[k:all])=\Bigsum_{j=1}^QP(S[c(k){\leftar}j])=\Bigsum_{j=1}^Q(1-u)\prod_{i=1}^{k-1}u_{c(i)}u_j
  • =(1-u)\prod_{i=1}^{k-1}u_{c(i)}\Bigsum_{j=1}^Qu_j=(1-u)\prod_{i=1}^{k-1}u_{c(i)}u=(1-u)u\prod_{i=1}^{k-1}u_{c(i)}

すなわち

  • P(S[k:all])=(1-u)u\prod_{i=1}^{k-1}u_{c(i)}

次にc(k-1)をとり得る全ての値について変えた全ての状態の確率の和を考えP(S[k-1:all,k:all])で表すと同様に考えて

  • P(S[k-1:all,k:all])=(1-u)u^2\prod_{i=1}^{k-2}u_{c(i)}

以下、システムに存在する全てのジョブについてクラスを無視した状態の確率を求めると、これは式（８）における

  • p_k

にほかなりませんが、上と同様の変形を繰り返すことにより

  • p_k=(1-u)u^k

になります。これは式（８）と同じです。
よって、式（７）は式（８）と矛盾しないことが明らかになりました。


「複数クラスを持つＭ／Ｍ／２待ち行列（１）」に続きます。