複数クラスを持つＭ／Ｍ／２待ち行列（３）

「複数クラスを持つＭ／Ｍ／２待ち行列（２）」の続きです。

では、個々の定常状態確率分布を求めてみます。[tex:P*1]を求めるのはちょっとしんどいのでこのままにしておきます。[tex:P*2]は、システムにジョブがまったくない状態の確率を表していますから「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（１）」の式（１）における $p_0$ に当たります。よってここでも[tex:P*3]を $p_0$ と書き直すことにします。
「[複数クラスを持つＭ／Ｍ／２待ち行列（２）]」の式（６）から

[tex:P*4=2u_Ap_0]・・・・・（１１）

同じく式（５）から

[tex:P*5=2u_Bp_0]・・・・・（１２）

式（８）と式（１１）から

[tex:P*6=2u_A^2p_0]・・・・・（１３）

式（９）と式（１２）から

[tex:P*7=2u_B^2p_0]・・・・・（１４）

式（７）と式（１１）（１２）から

[tex:P*8=4u_Au_Bp_0]・・・・・（１５）

処理中のジョブのクラスがともに $A$ であるような状態を $S_{AA}$ 、 $A$ と $B$ １つずつであるような状態を $S_{AB}$ 、ともに $B$ であるような状態を $S_{BB}$ と表すと、式（１３）と（１０）から

$P(S_{AA})=2u_A^2p_0\prod_{i=3}^Nu_{c(i)}$ ・・・・・（１６）
$P(S_{AB})=4u_Au_Bp_0\prod_{i=3}^Nu_{c(i)}$ ・・・・・（１７）
$P(S_{BB})=2u_B^2p_0\prod_{i=3}^Nu_{c(i)}$ ・・・・・（１８）

となることが分かります。ただし $N$ は状態 $S$ が持つジョブの数、 $c(i)$ は位置 $i$ のクラス、を表します。

今までは、クラスは $A,B$ の２つしかないと考えていました。装置台数は２のままで、クラスが一般に $Q$ 個あるとしたらどうなるでしょうか？　今までの議論をなぞってチェックしていきます。
式（１１）（１２）は

$P((c(1)))=2u_{c(1)}p_0$ ・・・・・（１９）

と一般化されるでしょう。式（７）（８）（９）は

ならば
- [tex:P*9=P((c(1)))u_{c(2)}+P((c(2)))u_{c(1)}]・・・・・（１０）
ならば
- [tex:P*10=P((c(1)))u_{c(1)}]・・・・・（１１）

と一般化されます。式（１９）を用いれば（１０）（１１）は

ならば
- [tex:P*11=4u_{c(1)}u_{c(2)}p_0]・・・・・（２０）
ならば
- [tex:P*12=2u_{c(1)}^2]・・・・・（２１）

と変形出来ます。式（１６）（１７）（１８）は

ならば
- $P(S_{c(1),c(2)})=4u_c(1)u_c(2)p_0\prod_{i=3}^Nu_{c(i)}$
- つまり
- $P(S_{c(1),c(2)})=4p_0\prod_{i=1}^Nu_{c(i)}$ ・・・・・（２２）
ならば
- $P(S_{c(1),c(1)})=2u_{c(1)}^2p_0\prod_{i=3}^Nu_{c(i)}$
- つまり
- $P(S_{c(1),c(1)})=2p_0\prod_{i=1}^Nu_{c(i)}$ ・・・・・（２３）

となります。

「複数クラスを持つＭ／Ｍ／ｍ待ち行列（１）」に続きます。

*1:\phi

*2:\phi

*3:\phi

*4:A

*5:B

*6:A,A

*7:B,B

*8:A,B

*9:c(1),c(2

*10:c(1),c(1

*11:c(1),c(2

*12:c(1),c(1