複数クラスを持つＭ／Ｍ／ｍ待ち行列（１）

「複数クラスを持つＭ／Ｍ／２待ち行列（３）」の続きです。

複数クラスを持つＭ／Ｍ／２待ち行列の定常状態確率の式をｍ台の場合に拡張します。例として装置が４台の場合をまず考えてみます。クラスの数が４つ以上あるとします。クラスを数字（１，２，３，４・・・）で表します。４台の装置全てに異なるクラスのジョブが入っており、待ちジョブがない状態、すなわち状態 $\{(1,2,3,4)\}$ を考えます。この状態が「複数クラスを持つＭ／Ｍ／２待ち行列（２）」の式（７）

[tex:P*1=P*2u_B+P*3u_A]・・・・・（１）（ここでは式の番号を振り直すとします）

の左辺に当たると考えて、この式を拡張することを考えます。
この状態は
状態 $\{(1,2,3)\}$ にクラス $4$ のジョブが到着して出来たとも、
状態 $\{(1,2,4)\}$ にクラス $3$ のジョブが到着して出来たとも、
状態 $\{(1,3,4)\}$ にクラス $2$ のジョブが到着して出来たとも、
状態 $\{(2,3,4)\}$ にクラス $1$ のジョブが到着して出来たとも、考えることが出来ます。つまり４つの状態からの遷移が考えられます。よって式（１）にあたる式では右辺が４つの項からなることになります。

さらに、この右辺に登場することになる状態 $\{(1,2,3)\}$ を考えると、この状態は
状態 $\{(1,2)\}$ にクラス $3$ のジョブが到着して出来たとも、
状態 $\{(1,3)\}$ にクラス $2$ のジョブが到着して出来たとも、
状態 $\{(2,3)\}$ にクラス $1$ のジョブが到着して出来たとも、考えることが出来ます。よって、この状態を式（１）の左辺とするならば、その右辺には上記の３つの状態に対応する項が来ます。

さらに、この右辺に登場することになる状態 $\{(1,2)\}$ を考えると、この状態は
状態 $\{(1)\}$ にクラス $2$ のジョブが到着して出来たとも、
状態 $\{(2)\}$ にクラス $1$ のジョブが到着して出来たとも、考えることが出来ます。よって、これは式（１）のように２つの項で表すことが出来ます。

これらを全て考えて[tex:P*4]を計算してみます。まず、状態 $\{(1)\}$ に入る遷移確率と出て行く遷移確率が等しいという平衡方程式から

[tex:P*5\frac{1}{t_e}=p_0{\lambda_1}]

これを変形して

[tex:P*6=p_0{\lambda_1}{t_e}]

今回は装置が４台なので任意のクラス $i$ について

${\lambda_i}{t_e}=4u_i$ ・・・・・（２）

よって

[tex:P*7=4p_0u_1]・・・・・（３）

同様に考えて

[tex:P*8=4p_0u_2]・・・・・（４）
[tex:P*9=4p_0u_3]・・・・・（５）
[tex:P*10=4p_0u_4]・・・・・（６）

次に、状態 $\{(1,2)\}$ に入る遷移確率と出て行く遷移確率が等しいという平衡方程式から

[tex:P*11\frac{2}{t_e}=P*12{\lambda_2}+P*13{\lambda_1}]

よって

[tex:P*14=\frac{1}{2}\{P*15{\lambda_2}{t_e}+P*16{\lambda_1}{t_e}\}]
[tex:P*17=4{\times}\frac{1}{2}\{P*18u_2+P*19u_1\}]

この右辺に（３）、（４）を代入して

[tex:P*20=4^2{\times}\frac{1}{2}(p_0u_1u_2+p_0u_1u_2)]
[tex:P*21=4^2p_0u_1u_2]・・・・・（７）

同様に考えて

[tex:P*22=4^2p_0u_1u_3]・・・・・（８）
[tex:P*23=4^2p_0u_1u_4]・・・・・（９）
[tex:P*24=4^2p_0u_2u_3]・・・・・（１０）
[tex:P*25=4^2p_0u_2u_4]・・・・・（１１）
[tex:P*26=4^2p_0u_3u_4]・・・・・（１２）

次に

[tex:P*27\frac{3}{t_e}=P*28{\lambda_3}+P*29{\lambda_2}+P*30{\lambda_1}]

よって

[tex:P*31=\frac{1}{3}\{P*32{\lambda_3}{t_e}+P*33{\lambda_2}{t_e}+P*34{\lambda_1}{t_e}\}]
[tex:P*35=4{\times}\frac{1}{3}\{P*36u_3+P*37u_2+P*38u_1\}]

この右辺に（７）（８）（１０）を代入して

[tex:P*39=4^3p_0u_1u_2u_3]・・・・・（１３）

同様に考えて

[tex:P*40=4^3p_0u_1u_2u_4]・・・・・（１４）
[tex:P*41=4^3p_0u_1u_3u_4]・・・・・（１５）
[tex:P*42=4^3p_0u_2u_3u_4]・・・・・（１６）

最後に

[tex:P*43\frac{4}{t_e}=P*44{\lambda_4}+P*45{\lambda_3}+P*46{\lambda_2}+P*47{\lambda_1}]

よって

[tex:P*48=\frac{1}{4}\{P*49{\lambda_4}{t_e}+P*50{\lambda_3}{t_e}+P*51{\lambda_2}{t_e}+P*52{\lambda_1}{t_e}\}]
[tex:P*53=4{\times}\frac{1}{4}\{P*54u_4+P*55u_3+P*56u_2+P*57u_1\}]