ケリーネットワークの定常状態確率とジャクソンネットワークの定常状態確率（２）

「ケリーネットワークの定常状態確率とジャクソンネットワークの定常状態確率（１）」の続きです。

次にステーション $s$ の全てのジョブのクラスが任意のクラスである場合の確率を

$P(S[s(all:all)])$

で表します。上と同様に考えると

$P(S[s(all:all)])=p_0\prod_{j=1,j{\ne}s}^N\frac{m_j^{G_j}}{G_j!}\prod_{i=1}^{k_j}u_{jc(j,i)}{\times}\frac{m_s^{G_s}}{G_s!}u_s^{k_s}$ ・・・・・・（９）

となります。

$\frac{m_s^{G_s}}{G_s!}u_s^{k_s}$

の部分は「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（２）」の式（１０）（１２）と、規格化定数を除いて等価であるので

$\frac{m_s^{G_s}}{G_s!}u_s^{k_s}=\frac{1}{p_{0s}}p\{M/M/m_s,u_s\}(k_s)$ ・・・・・・（１０）

と書くことが出来ます。ただし

$p_{0s}$

は規格化定数であり、

$p\{M/M/m_s,u_s\}(k_s)$

はＭ／Ｍ／ｍ待ち行列において利用率 $u_s$ でジョブ数 $k_s$ の場合の定常状態確率を表しています。よって式（９）は

$P(S[s(all:all)])=p_0\prod_{j=1,j{\ne}s}^N\frac{m_j^{G_j}}{G_j!}\prod_{i=1}^{k_j}u_{jc(j,i)}{\times}\frac{1}{p_{0s}}p\{M/M/m_s,u_s\}(k_s)$ ・・・・・・（１１）

となります。

次に、全ステーションの全てのジョブのクラスが任意のクラスである場合の確率を

$P(S[all(all:all)])$

で表す。式（１１）と同様に考えて

$P(S[all(all:all)])=p_0\prod_{j=1}^N\frac{1}{p_{0j}}p\{M/M/m_j,u_j\}(k_j)$ ・・・・・・（１２）

状態 $P(S[all(all:all)])$ はジョブのクラスをまったく考慮していませんから、ジャクソンネットワークと同じように状態の和 $S[all(all:all)]$ を改めて１つの大きな状態とみなし、これを、各ステーションでのジョブ数 $k_j$ からなるベクトル $\vec~k$ で表すと

$P(\vec~k)=p_0\prod_{j=1}^N\frac{1}{p_{0j}}p\{M/M/m_j,u_j\}(k_j)$ ・・・・・・（１３）

と書くことが出来ます。規格化定数を求めるために全ての状態について確率の和をとると

$\Bigsum_{k_1=0}^{\infty}\Bigsum_{k_2=0}^{\infty}$ ・・・ $\Bigsum_{k_N=0}^{\infty}P(\vec~k)=p_0\prod_{j=1}^N\frac{1}{p_{0j}}\Bigsum_{k_j=0}^{\infty}p\{M/M/m_j,u_j\}(k_j)$ ・・・・・・（１４）