Ｍ／Ｄ／１の定常状態分布の近似式 - 工場統計力学（建設中！）

「Ｍ／Ｄ／１の定常状態分布の求め方（２）」で導出した、Ｍ／Ｄ／１の定常状態分布を求める式

$p(0)=1-u$ ・・・・・（１）
$p(1)=\frac{[1-A(0)]p(0)}{A(0)}$ ・・・・・（８）
の時
- $p(k+1)=\frac{p(k)-\Bigsum_{i=0}^{k-1}A(i+1)p(k-i)-A(k)p(0)}{A(0)}$ ・・・・・（２８）
ただし
- $A(k)=\frac{u^k}{k!}\exp(-u)$ ・・・・・（４）

は、実際の計算が大変です。そこで、精度はある程度犠牲にして簡便に求める方法がないか調べてみます。「Ｍ／Ｄ／１の定常状態分布」で示したグラフを見ると、 $p(0)$ と $p(1)$ の間の比 $p(1)/p(0)$ は特別扱いしなければならないが、 $k{\ge}1$ の時の $p(k+1)/p(k)$ はほぼ一定ではないか、という気がしてきます。一例として利用率 $u$ が８０％、すなわち $u=0.8$ 、のときのグラフを再掲します。

実際に、 $k{\ge}1$ の時の $b(k)=p(k+1)/p(k)$ をいろいろな $u$ の値の場合で調べて見ると以下のグラフのようになります。

このグラフから $k$ が大きいほど、 $b(k)=p(k+1)/p(k)$ は一定値に近づくことが分かります。（ $u$ が0.4以下の時にグラフの線が $k=20$ まで続いていないのは $p(k)$ も $p(k+1)$ も非常に小さな数になったためにExcelでの計算に誤差が大きく出て計算出来なかったことを表しています。）

そこで、

・・・・・（２９）
- ただし $b$ は定数

と仮定して、全確率の定理

$\Bigsum_{k=0}^{\infty}p(k)=1$ ・・・・・（３０）

と、Ｍ／Ｄ／１の平均待ち時間 $CT_q$ が

・・・・・（３１）
- （「Ｍ／Ｄ／１における待ち時間の式の導出」参照）

を満たすような $p(k)$ を求めることにします。ただし、式（２９）は $k=1$ には成り立たないとします。それは、 $p(0)$ はジョブがシステムにまったくない状態の確率を表していますから式（１）が成り立つのは確実です。もし、式（２９）が $k=1$ の時にも成り立つとすると式（１）（２９）（３０）からＭ／Ｍ／１とまったく同じ $p(0)$ が導き出されます（「Ｍ／Ｍ／１における待ち時間の式の導出（２）」の式（９）参照）。すると

$CT_q=\frac{u}{1-u}t_e$ ・・・・・（３１’）

が導き出され（「Ｍ／Ｍ／１における待ち時間の式の導出（２）」の式（１５）参照）式（３１）と矛盾する結果になってしまうからです。

では

・・・・・（２９）
- ただし
  - $b$ は定数
  - $k{\ge}1$

として、式（３０）（３１）を満たすような定数 $b$ を求めることにします。まず、式（２９）から $k{\ge}1$ の時

$p(k)=p(1)b^{k-1}$ ・・・・・（３２）

が導かれます。

次に、式（３０）ですが、式（１）を考慮すれば、以下のように変形できます。

$p(0)+\Bigsum_{k=1}^{\infty}p(k)=1$
$1-u+\Bigsum_{k=1}^{\infty}p(k)=1$
$\Bigsum_{k=1}^{\infty}p(k)=u$ ・・・・・（３３）

式（３３）に（３２）を代入して

$\Bigsum_{k=1}^{\infty}p(1)b^{k-1}=u$
$\frac{p(1)}{1-b}=u$
$p(1)=u(1-b)$ ・・・・・（３４）

次に、式（３１）ですが、まずはリトルの法則を用いて平均待ちジョブ数 $L_q$ を求める式に変形します。この場合、ＷＩＰが $L_q$ 、サイクルタイムが $CT_q$ 、スループットが

$\frac{u}{t_e}$ ・・・・・（３５）

にあたるので

$L_q=CT_q{\times}\frac{u}{t_e}$

式（３４）を用いれば

$L_q=\frac{u}{2(1-u)}t_e\frac{u}{t_e}$

よって

$L_q=\frac{u^2}{2(1-u)}$ ・・・・・（３６）

一方、 $L_q$ の定義から

$L_q=\Bigsum_{k=2}^{\infty}(k-1)p(k)$ ・・・・・（３７）

なので、式（３６）を考慮すると

$\Bigsum_{k=2}^{\infty}(k-1)p(k)=\frac{u^2}{2(1-u)}$
$\Bigsum_{k=1}^{\infty}(k-1)p(k)=\frac{u^2}{2(1-u)}$
$\Bigsum_{k=1}^{\infty}kp(k)-\Bigsum_{k=1}^{\infty}p(k)=\frac{u^2}{2(1-u)}$

となります。ここで式（３３）を考慮すると

$\Bigsum_{k=1}^{\infty}kp(k)-u=\frac{u^2}{2(1-u)}$
$\Bigsum_{k=1}^{\infty}kp(k)=\frac{u^2}{2(1-u)}+u=\frac{u^2+2(1-u)u}{2(1-u)}=\frac{(u+2-2u)u}{2(1-u)}$
$\Bigsum_{k=1}^{\infty}kp(k)=\frac{(2-u)u}{2(1-u)}$ ・・・・・（３８）