Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（１）

「Ｍ／Ｄ／１の定常状態分布の求め方（１）」「Ｍ／Ｄ／１の定常状態分布の求め方（２）」で用いた方法に似たやり方でＤ／Ｍ／１の定常状態分布も求めることが出来るのではないかと考えました。しかし、Ｄ／Ｍ／１の場合、ジョブの到着過程はポアソン過程ではないのでＰＡＳＴＡを適用することが出来ません。よって到着時の状態確率と時間平均での状態確率は一般には等しくなりません。そこで時間平均での確率についてはひとまずあきらめて、到着時のシステム内のジョブ数の定常状態確率を求めることを考えていきます。

ジョブが到着する間隔 $T$ は

$T=\frac{t_e}{u}$ ・・・・・（１）

です。この間隔の間にジョブが $k$ 個処理終了する確率を求めます。まず問題を簡単にするために、待っているジョブが無限にあったとします。これが時間 $t$ 内に $k$ 個終了する確率はポアソン分布になるので「ポアソン分布」の式（１）から

$p(k;t)=\frac{({\lambda}t)^k}{k!}\exp(-{\lambda}t)$ ・・・・・（２）

この式 $\lambda$ は平均時間の逆数なので平均処理時間を $t_e$ とすると

$\lambda=\frac{1}{t_e}$

よって

$p(k;t)=\frac{(t/t_e)^k}{k!}\exp(-t/t_e)$ ・・・・・（３）

ジョブの到着間隔 $T$ の内にジョブが $k$ 個終了する確率 $B(k)$ は、（３）の $t$ に（１）の $T$ を代入して

$B(k)=p\left(k:\frac{t_e}{u}\right)=\frac{(1/u)^k}{k!}\exp(-1/u)=\frac{1}{u^kk!}\exp\left(-\frac{1}{u}\right)$

よって

$B(k)=\frac{1}{u^kk!}\exp\left(-\frac{1}{u}\right)$ ・・・・・（４）

となります。

あるジョブ到着直前にシステムにジョブが $j$ 個あったとします。その次のジョブ到着直前に $k$ 個になる確率を $C(j,k)$ で表すことにします。この間隔の間にジョブは１個到着しますが、処理完了するジョブは最大、全部終了する可能性があります。よってジョブが２個以上増える確率はゼロです。よって

$C(j,k)=0$ 　　ただし $k{\ge}j+2$ ・・・・・（５）

さらに、２番目の到着直前にジョブが１個以上残っている確率は式（４）を用いて

$C(j,k)=B(j+1-k)$ 　ただし $1{\le}k{\le}j+1$ ・・・・・（６）

２番目の到着直前にジョブが０個残っている確率には（６）は適用出来ません。というのは元々 $j$ 個しかないので、（到着したジョブも含めて） $j+1$ 個より多くのジョブが処理完了することはないからです。
最初の到着の直前に $j$ 個だった場合に、次の到着直前でのジョブ数の全ての可能性の確率を足せば１になるはずですから、