Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（２）

「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（１）」の続きです。
Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布 $p(k)$ を求めるために

$p(k)=\Bigsum_{j=k}^{\infty}B(j-k)p(j-1)$ 　　ただし $k{\ge}1$ ・・・・・（８）
$p(0)=\Bigsum_{j=0}^{\infty}C(j,0)p(j)$ ・・・・・（９）
$\Bigsum_{k=0}^{\infty}p(k)=1$ ・・・・・（１０）
$C(j,0)=1-\Bigsum_{m=0}^jB(m)$ ・・・・・（７）

を解く必要があります。
「Ｍ／Ｄ／１の定常状態分布の求め方（１）」の時とは違ってＰＡＳＴＡを適用出来ませんので

$p(0)=1-u$

とすることも出来ません。到着時に装置が空いているかどうかは、時間平均での装置が空いている確率、すなわち $1-u$ と等しいとは限らないからです。
さらに、「Ｍ／Ｄ／１の定常状態分布の求め方（１）」の時のように有限の項数の連立方程式でないので、「Ｍ／Ｄ／１の定常状態分布の求め方（１）」の時の解き方を応用することが出来ません。それで、しばらく解けなくて呆然としていましたが、

「待ち行列研究の新しい潮流(3) : 相型分布と行列解析法：オペレーションズ・リサーチ : 経営の科学 1998年11月」

の「4.1 GI/M/1型マルコフ連鎖と行列幾何形式解」の以下の箇所を読んで解き方が分かりました。

4.1 GI/M/1型マルコフ連鎖と行列幾何形式解
　よく知られているように、M/M/1やGI/M/1待ち行列の定常分布は幾何分布となる。すなわち、到着直前のシステム内客数が $n$ である定常状態確率 $\pi_n$ は、

$\pi_n=(1-\eta)\eta_n$ 、　 $n=0,1,$ ･･･　 (2)

で与えられる。 $\eta\in(0,1)$ は、到着間隔分布とサービス率から定まる定数で、M/M/1ではトラヒック密度に一致する。

本当なんだろうか？　と思ってまず試しに

$p(k+1)=bp(k)$ ・・・・・（１１）

と置くことが出来る、と仮定しました。ただし $b$ は定数です。そしてさらに、 $k=1$ の時に（８）が成り立つと仮定しました。つまり

$p(1)=\Bigsum_{j=1}^{\infty}B(j-1)p(j-1)$ ・・・・・（１２）

が成り立つと仮定しました。（１２）の両辺に $b$ を掛けると

$p(2)=\Bigsum_{j=1}^{\infty}B(j-1)p(j)=\Bigsum_{j=2}^{\infty}B(j-2)p(j-1)$

となり $k=2$ の時にも（８）が成り立つことが分かります。さらに同様にして $k{\ge}3$ でも（８）が成り立つことが分かります。つまり（８）を満足するには（１１）と（１２）を満足させればよいことが分かります。では（１０）を満足させるにはどうすればよいでしょうか？
（１１）から

$p(k)=p(0)b^k$ ・・・・・（１３）

となります。これを（１０）に代入すると

$\Bigsum_{k=0}^{\infty}p(0)b^k=1$
$\frac{p(0)}{1-b}=1$
$p(0)=1-b$

これを（１３）に代入して

$p(k)=(1-b)b^k$ ・・・・・（１４）

これで（１４）が（１０）も満足することが分かりました。

では最後に（９）と（７）についてはどうでしょうか？　しかし（９）の係数である（７）は、全確率の定理を用いて（６）から求めたのでした。ですので実は（８）と（１０）を満足すれば（９）も自動的に満足されるのです。それを確かめてみます。（８）から

$\Bigsum_{k=}^{\infty}p(k)=\Bigsum_{k=1}^{\infty}\Bigsum_{j=k}^{\infty}B(j-k)p(j-1)$

よって全確率の定理から

$p(0)=1-\Bigsum_{k=1}^{\infty}p(k)$

この右辺に（８）を代入して

$p(0)=1-\Bigsum_{k=1}^{\infty}\Bigsum_{j=k}^{\infty}B(j-k)p(j-1)$

ここで $j-1$ を固定して考えると、 $1{\le}k{\le}j$ だから $0{\le}j-k{\le}j-1$ となります。また $0{\le}j-1$ です。よってここで $j-1=m$ 、 $j-k=n$ と置けば、 $0{\le}m$ 、 $0{\le}n{\le}m$ となります。よって

$p(0)=1-\Bigsum_{m=0}^{\infty}\Bigsum_{n=0}^mB(n)p(m)$ ・・・・・（１５）

もう一度全確率の定理

$1=\Bigsum_{m=0}^{\infty}p(m)$

を（１５）の右辺の１のところに代入すれば

$p(0)=\Bigsum_{m=0}^{\infty}p(m)-\Bigsum_{m=0}^{\infty}\Bigsum_{n=0}^mB(n)p(m)$

よって

$p(0)=\Bigsum_{m=0}^{\infty}\left[1-\Bigsum_{n=0}^mB(n)\right]p(m)$

この式と（７）から

$p(0)=\Bigsum_{m=0}^{\infty}C(m,0)p(m)$

となり、（９）が導かれます。

以上から、

$p(1)=\Bigsum_{j=1}^{\infty}B(j-1)p(j-1)$ ・・・・・（１２）

と

$p(k)=p(0)b^k$ ・・・・・（１３）

から $b$ を求めれば、 $p(k)$ を求めることが出来ることが分かります。そこで（１３）を（１２）に代入すると

$p(1)=\Bigsum_{j=1}^{\infty}B(j-1)b^{j-1}p(0)$

ここで（１１）を用いれば

$bp(0)=\Bigsum_{j=1}^{\infty}B(j-1)b^{j-1}p(0)$

よって

$b=\Bigsum_{j=1}^{\infty}B(j-1)b^{j-1}$
$b=\Bigsum_{j=0}^{\infty}B(j)b^j$

よって

$\Bigsum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{u^jj!}\exp\left(-\frac{1}{u}\right)b^j=b$
$\Bigsum_{j=0}^{\infty}\frac{b^j}{u^jj!}=b\exp\left(\frac{1}{u}\right)$
$\frac{1}{b}\Bigsum_{j=0}^{\infty}\frac{(b/u)^j}{j!}=\exp\left(\frac{1}{u}\right)$
$\frac{1}{b}\exp\left(\frac{b}{u}\right)=\exp\left(\frac{1}{u}\right)$ ・・・・・（１６）

$b$ の値は（１６）を解いて求めることになります。そうして求まった $b$ を（１４）に代入して $p(k)$ を求めることが出来ます。

「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（３）」に続きます。