Ｄ／Ｍ／１における待ち時間の近似式 - 工場統計力学（建設中！）

「Kingmanの近似式の根拠が明らかになるか？（３）」で見たようにKingmanの近似式

$CT_q{\approx}\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u}{1-u}t_e$ ・・・・・（１）

を導くためには２つの前提が必要でした。ひとつは、 $c_a$ 、 $c_e$ の両方が１より小さい場合にGI/G/1の待ち時間 $CT_q$ が

$CT_q{\approx}c_a^2c_e^2CT_{q,M/M/1}+c_a^2(1-c_e^2)CT_{q,M/D/1}+c_e^2(1-c_a^2)CT_{q,D/M/1}$ ・・・・・（２）

で近似出来るということであり、もうひとつは $CT_{q,D/M/1}$ が

$CT_{q,D/M/1}{\approx}\frac{1}{2}CT_{q,M/M/1}$ ・・・・・（３）

で近似出来ることでした。ただし、ここで $CT_{q,M/M/1}$ は同じ利用率 $u$ を持つＭ／Ｍ／１での平均待ち時間、 $CT_{q,M/D/1}$ はＭ／Ｄ／１での同じく平均待ち時間、 $CT_{q,D/M/1}$ はＤ／Ｍ／１での平均待ち時間、を表しています。そしてもちろん

$CT_{q,M/M/1}=\frac{u}{1-u}t_e$ ・・・・・（４）

ですから式（３）は

$CT_{q,D/M/1}{\approx}\frac{u}{2(1-u)}t_e$ ・・・・・（５）

と書き直すことが出来ます。

さて、上の式（２）は

逆瀬川浩孝氏による「待ち行列における近似モデル(特集モデルの複雑さのへのアプローチ)」

によれば

アーラン分布を使ったいくつかの例で確かめられている[Page, E.S. (1972), Queueing Theory in OR.]

ということですから、おそらく数値計算による結果との比較で求められた式だと思います。これを確かめるのは大変そうですから、ここでは式（２）を認めることにします。
式（３）についてはどうでしょうか？　「Ｄ／Ｍ／１における待ち時間の式の導出」で待ち時間が求まりましたので、これと比較して近似が成り立つかどうか確かめることが出来ます。では、これを確かめてみましょう。
下のグラフに、Ｄ／Ｍ／１での待ち時間の厳密な値と（５）によって求めた近似値を比較します。厳密な値は「D/M/1」で近似値は「近似」で示されています。

これを見ると、まあまあの近似のように見えます。しかし、 $u<0.8$ ではもう少し正確さが欲しいようにも思います。参考のためにＭ／Ｍ／１での待ち時間もグラフに加えてみました。

これを見ると近似としてＭ／Ｍ／１の式

$CT_q=\frac{u}{1-u}t_e$

を用いるより式（５）を用いたほうがはるかによい近似になることが分かります。

ところで私はExcelをいじっている内に偶然に、もっとよい近似になる式を見つけました。それは

$CT_q{\approx}\frac{u^2}{2(1-u)}t_e$ ・・・・・（６）

というものです。これを「近似２」としてグラフに加えると

となります。式（５）よりもよい近似になっていることが分かると思います。私としてはＤ／Ｍ／１の平均待ち時間の近似式としては（６）を推奨したいと思います。もし式（６）を式（２）に代入すれば、ＧＩ／Ｇ／１の平均待ち時間の近似式としてKingmanの近似式（１）より精度のよい近似式が得られるはずです。これを求めてみましょう。

- $=c_a^2c_e^2\frac{u}{1-u}t_e+c_a^2(1-c_e^2)\frac{u}{2(1-u)}t_e+c_e^2(1-c_a^2)\frac{u^2}{2(1-u)}t_e$
- $=\frac{u}{2(1-u)}t_e[2c_a^2c_e^2+c_a^2(1-c_e^2)+c_e^2(1-c_a^2)u]$
- $=\frac{u}{2(1-u)}t_e[c_a^2c_e^2+c_a^2+c_e^2u-c_a^2c_e^2u]$
- $=\frac{c_a^2+c_e^2u+c_a^2c_e^2(1-u)}{2}\frac{u}{(1-u)}t_e$

よって

$CT_q{\approx}\frac{c_a^2+c_e^2u+c_a^2c_e^2(1-u)}{2}\frac{u}{(1-u)}t_e$ ・・・・・（７）

これがKingmanの近似式（１）より精度のよい近似式になるでしょう。（詳しくは「逆瀬川近似式の改良」参照）