Ｅ２／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（１）

待ち行列理論

「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（１）」「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（２）」「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（３）」と同じようにして、E_2/M/1待ち行列の、ジョブ到着時の、システム内ジョブ数の定常状態確率を求めてみます。なお、E_2とは２次のアーラン分布を意味します。
E_2/M/1の場合もD/M/1の場合と同じく、ジョブの到着過程はポアソン過程ではないのでＰＡＳＴＡを適用することが出来ません。よって到着時の状態確率と時間平均での状態確率は一般には等しくなりません。


まず、ジョブ到着間隔の分布を求めます。ジョブが到着する間隔の平均t_aは

  • t_a=\frac{t_e}{u}・・・・・（１）

です。一方、２次のアーラン分布E_2(t)は「アーラン分布」の式（１）のkに２を代入して

  • E_2(t)=\lambda^2t\exp(-{\lambda}t)・・・・・（２）

次に「アーラン分布」の式（１０）から、E_2の分布の平均は

  • \frac{2}{\lambda}

なので（１）から

  • \frac{2}{\lambda}=\frac{t_e}{u}

よって

  • \lambda=\frac{2u}{t_e}

これを（２）に代入して

  • E_2(t)=\left(\frac{2u}{t_e}\right)^2t\exp\left(-\frac{2u}{t_e}t\right)・・・・・（３）

これがジョブ到着間隔の分布になります。


待っているジョブが無限にあったとします。これが時間t内にk個終了する確率は「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（１）」の式（３）から

  • p(k;t)=\frac{(t/t_e)^k}{k!}\exp(-t/t_e)・・・・・（４）


ある到着から次の到着までにジョブがk個減る確率B(k)は

  • B(k)=\Bigint_0^{\infty}p(k;t)E_2(t)dt・・・・・（５）

で表すことが出来ます。式（５）の右辺を計算すると

  • \Bigint_0^{\infty}p(k;t)E_2(t)dt=\Bigint_0^{\infty}\frac{t^k}{t_e^kk!}\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)\left(\frac{2u}{t_e}\right)^2t\exp\left(-\frac{2u}{t_e}t\right)dt
  • =\Bigint_0^{\infty}\frac{4u^2t^{k+1}}{t_e^{k+2}k!}\exp\left(-\frac{1+2u}{t_e}t\right)dt=\frac{4u^2}{t_e^{k+2}k!}\Bigint_0^{\infty}t^{k-1}\exp\left(-\frac{1+2u}{t_e}t\right)dt

よって

  • \Bigint_0^{\infty}p(k;t)E_2(t)dt=\frac{4u^2}{t_e^{k+2}k!}\Bigint_0^{\infty}t^{k-1}\exp\left(-\frac{1+2u}{t_e}t\right)dt・・・・・（６）

ここで「アーラン分布」の式（２）を参照すると

  • \Bigint_0^{\infty}\frac{A^kt^{k-1}}{(k-1)!}\exp(-{At)dt=1
    • 変数名が衝突するので「アーラン分布」の式（２）中の\lambdaをAに書き換えました。

から

  • \Bigint_0^{\infty}t^{k-1}\exp(-At)dt=\frac{(k-1)!}{A^k}
  • \Bigint_0^{\infty}t^{k+1}\exp(-At)dt=\frac{(k+1)!}{A^{k+2}}・・・・・（７）

ここで

  • A=\frac{1+2u}{t_e}

とおけば式（７）は

  • \Bigint_0^{\infty}t^{k+1}\exp\left(-\frac{1+2u}{t_e}t\right)dt=\frac{(k+1)!}{\left(\frac{1+2u}{t_e}\right)^{k+2}}

これを式（６）の右辺に代入すると

  • \Bigint_0^{\infty}p(k;t)E_2(t)dt=\frac{4u^2}{t_e^{k+2}k!}\frac{(k+1)!t_e^{k+2}}{(1+2u)^{k+2}}=\frac{4(k+1)u^2}{(1+2u)^{k+2}}

この式と式（５）から

  • B(k)= \frac{4(k+1)u^2}{(1+2u)^{k+2}}・・・・・（８）

となります。


ここから先は「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（１）」と同じ論理が適用出来ます。


「Ｅ２／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（２）」に続きます。