Ｅ２／Ｍ／１待ち行列の平均待ち時間とその近似式

「Ｅ２／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（２）」の続きです。
「Ｄ／Ｍ／１における待ち時間の式の導出」と同じ議論を適用でき、ジョブの平均待ち時間は「Ｄ／Ｍ／１における待ち時間の式の導出」の式（１７）と同じ

$CT_q=\frac{b}{1-b}t_e$ ・・・・・（２２）

となります。ただし $b$ は今回は「Ｅ２／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（２）」の式（２１）

$\frac{4u^2}{(1+2u-b)^2}=b$ ・・・・・（２１）

を満足する解で $0{\le}b<1$ の範囲にあるものになります。式（２１）は変形すれば３次方程式になるので解析的に解けないことはないのですが、解の式が複雑になりそうなので解析的に解くことはせず、また、Excelで値を試行錯誤で増減させて、だいたいの解を求めました。その結果は下のグラフに示します。

さらに、このようにして求めた $b$ を式（２２）に代入した結果を下のグラフに示します。Ｙ軸には待ち時間そのものではなく、それを平均処理時間で割った値、つまり $CT_q/t_e$ をとります。比較のためにＤ／Ｍ／１の場合とＭ／Ｍ／１の場合も一緒に示します。

このグラフから予想がつくのですが、Ｄ／Ｍ／１の時の平均待ち時間とＭ／Ｍ／１の時の平均待ち時間を平均すると $E_2/M/1$ の時の平均待ち時間のよい近似になります。 $u$ と $t_e$ を定めた時のＤ／Ｍ／１の時の平均待ち時間の値を $CT_{q,D/M/1}(u,t_e)$ で、Ｍ／Ｍ／１の時の平均待ち時間の値を $CT_{q,M/M/1}$ で表すと近似式は

$CT_q{\approx}CT_{q,D/M/1}(u,t_e)+CT_{q,M/M/1}(u,t_e)$ ・・・・・（２３）

下に $E_2/M/1$ の時の平均待ち時間の、式（２１）（２２）で求めた値と式（２３）で近似した値を下のグラフで比較します。

さらに、 $0{\le}u{\le}0.7$ の範囲を拡大してみます。

非常に精度がよい近似になっていることが分かります。

ここから、式（２３）を一般化してＧＩ／Ｍ／１の平均待ち時間 $CT_{q,GI/M/1}(u,t_e)$ の近似式として

$CT_{q.GI/M/1}(u,t_e){\approx}(1-c_a^2)CT_{q,D/M/1}(u,t_e)+c_a^2CT_{q,M/M/1}$ ・・・・・（２４）

を考えることが出来ます。この式ではＧＩがＤの時、 $c_a=0$ となり、左辺は $CT_{q,D/M/1}(u,t_e)$ に等しくなります。また、ＧＩがＭの時、 $c_a=1$ となり、左辺は $CT_{q,M/M/1}(u,t_e)$ に等しくなります。また、ＧＩが $E_2$ の時、「アーラン分布」の式（１４）から $c_a^2=1/2$ となりますが、これを式（２４）に代入すると式（２３）と同じになります。私は確かめることが出来ていませんが、この近似は多くのＧＩ／Ｍ／１で成り立つようです。