Kingmanの近似式の導出メモ（３）
「Kingmanの近似式の導出メモ（２）」の続きです。
Ｍ／Ｍ／１待ち行列から擬似的に待ち行列を導き出したのと同じ手順を、Ｍ／Ｄ／１やＤ／Ｍ／１に適用することが出来ます。Ｍ／Ｄ／１で到着するジョブを１つ置きに印をつけ、印をつけたジョブだけに注目し、処理時間としては印をつけたジョブの処理時間と、その一つあとのジョブの処理時間を足したものを自分の処理時間と見なせば、擬似的な
待ち行列が出来ます。Ｄ／Ｍ／１について同様の手順を適用すると
待ち行列が出来ます。「Kingmanの近似式の導出メモ（１）」で行った考察と同様の考察によって、
・・・・・（１６）
・・・・・（１７）
を導くことが出来ます。この時、「Kingmanの近似式の導出メモ（２）」で述べた「不都合な状況が起る確率」は、「Kingmanの近似式の導出メモ（２）」の式（１５）と同じ式で表されるわけではありませんが、そこで述べたように
印のついていないジョブが到着した時に、待ちなしで処理が開始され（もし待ちがあれば、１つ前のジョブと処理が連続するはずです）、その処理中に他のジョブが到着するという場合です。
が大きければ、ジョブが待ちなしで処理が開始される確率は小さくなるので、この不都合な状況の発生確率も小さくなるはずです。逆に
ということから、小さいものと予想されます。よって、式（１６）（１７）が近似として成り立つことが予想されます。
「Kingmanの近似式の導出メモ（１）」の式（２）
・・・・・（２）
から式（１６）は
・・・・・（１８）
と書くことが出来、「Kingmanの近似式の導出メモ（１）」の式（５）
・・・・・（５）
から
・・・・・（１９）
を導くことが出来るので、式（１７）は
と書くことが出来ます。
では
、
であること、と、
では
、
であること、を考慮すれば、式（１８）と（２０）もKingmanの近似式
・・・・・（６）
を支持する結果であることが分かります。
さて、以上でKingmanの近似式（６）は、Ｍ／Ｇ／１、ＧＩ／Ｍ／１、、
、
によって支持されます。
さらに（６）を支持する証拠として重負荷近似があります。これはＧＩ／Ｇ／ｍについて
・・・・・（７）
となる、というものです。（これの証明の理解を近々トライしたいと思っています。） ＧＩ／Ｇ／１であれば、（７）は
・・・・・（８）
になります。式（６）が式（８）を満足するのは明らかです。
