Marshallの公式に向けて（１）
「待ち行列における近似モデル 逆瀬川浩孝氏」を読んでいると、こんな一節がありました。
５．平均値の近似
混雑の指標として、何かの特性量の期待値だけを知りたい（求めたい）という場合がある。システム全体の解析を経ることなく、簡単な計算によって、そのような指標が求められるならば、いろいろなパラメータを動かした時の変化の様子を調べて最適なパラメータを選ぶという作業が容易になるであろう。たとえば単一窓口モデルＧＩ／Ｇ／１の待ち時間を考えてみよう。
番目に到着した客の待ち時間を
、サービス時間を
、
番目の客の到着間隔を
とすれば、
という関係が成り立つ。適当な条件のもとで
に収束し、平均待ち時間は上の式を使って、
- （ただし、
、
）
と表すことが出来る。
まず、ＧＩ／Ｇ／１でなぜ式（１）
・・・・・（１）
が成り立つか、ですが、これは図を書けば直感的に分かります。
まずの場合ですが、これは下図のようになります。
- 図１
この時、
・・・・・（２）
となっているのが分かります。
次に[tex:W_n+B_n
- 図２
このときには
・・・・・（３）
になっていることが分かります。（２）と（３）を一つの式にまとめると（１）になります。
私は以上は理解したのですが、次になぜ（１）ならば
が成り立つのか、まだ分かりません。
- 追記。2009/6/27。分かりました。「ＧＩ／Ｇ／１待ち行列の平均待ち時間の式」参照
しかし（４）が成り立つとすると、Whittの論文「The Queueing Network Analyzer」で私が分からなかった式の一つである、GI/G/1待ち行列における出発間隔時間の２乗係数についてのMarshallの公式
・・・・・（５）
を導くことが出来ます。ところで、ここでは私の記述法に従って（５）を以下のように書き換えます。ただしは私の記述法では
ですが、これは
のままにしておきます。（そのほうが他の式を直さなくてすむので）
・・・・・（６）
では、式（４）から（６）を導き出してみましょう。
まず（４）から
・・・・・（７）
となります。
「Marshallの公式に向けて（２）」に続きます。
