Marshallの公式に向けて（２） - 工場統計力学（建設中！）

「Marshallの公式に向けて（１）」の続きです。
$n$ 番目と $n+1$ 番目のジョブ（＝客）の出発間隔を $D_n$ とします。（ $D_n$ はすでに図１、２に記入してあります。）

図１

図１から $W_n+B_n{\ge}A_n$ の時、

$D_n=B_{n+1}$ ・・・・・（８）

であることが分かります。

図２

図２から[tex:W_n+B_n

$D_n=B_{n+1}+\{A_n-(W_n+B_n)\}$ ・・・・・（９）

であることが分かります。（９）は

$U=B-A$

すなわち（上の式は下の式を簡易的に書いたものだと解釈しました）

$U_n=B_n-A_n$ ・・・・・（１０）

を用いれば

$D_n=B_{n+1}+\{A_n-(W_n+B_n)\}=B_{n+1}-(W_n+U_n)$ ・・・・・（１１）

ここで、

$Y=-\min(0,W+U)$

すなわち

$Y_n=-\min(0,W_n+U_n)$ ・・・・・（１２）

を用いれば、図２の場合は[tex:W_n+B_n

$W_n+B_n-A_n<0$
$W_n+U_n<0$

となり、（１１）を

$D_n=Y_n+B_{n+1}$

と書き換えることが出来ます。一方図１の場合は $W_n+B_n{\ge}A_n$ なので

$W_n+B_n-A_n{\ge}0$
$W_n+U_n{\ge}0$

となり、（８）をやはり

$D_n=Y_n+B_{n+1}$

と書き換えることが出来ます。よって図１、２の両方の場合について

$D_n=Y_n+B_{n+1}$ ・・・・・（１３）

となります。ここで $B_{n+1}$ は装置の処理時間を表していますから、到着間隔 $A_n$ とは確率的に独立ですし、一つ前の装置処理時間 $B_n$ とも待ち時間 $W_n$ とも独立です。よって $Y_n$ と $B_{n+1}$ も互いに独立になります。よって

$Var(D)=Var(Y)+Var(B)$ ・・・・・（１４）

「Marshallの公式に向けて（１）」の式（７）

$Var(Y)=Var(U)-2E(-U)EW$ ・・・・・（７）

を（１４）に代入して

$Var(D)=Var(U)+Var(B)-2E(-U)EW$ ・・・・・（１５）

次に式（１０）から

$E(-U)=E(A)-E(B)$ ・・・・・（１６）

また、同じ（１０）から、 $B_n$ と $A_n$ は独立なので

$Var(U)=Var(A)+Var(B)$ ・・・・・（１７）

（１５）に（１６）（１７）を代入して

$Var(D)=Var(A)+2Var(B)-2[E(A)-E(B)]EW$ ・・・・・（１８）

ここで定義から

$E(D)=E(A)=\frac{t_e}{u}$

なので、この２乗で（１８）の両辺を割ると

$\frac{Var(D)}{E(D)^2}=\frac{Var(A)}{E(A)^2}+2\frac{u^2}{t_e^2}Var(B)-2\frac{u}{t_e}\left[1-\frac{E(B)}{E(A)}\right]EW$

さらに定義から

$\frac{Var(D)}{E(D)^2}=c_d^2$
$\frac{Var(A)}{E(A)^2}=c_a^2$

なので

$c_d^2=c_a^2+2\frac{u^2}{t_e^2}Var(B)-2\frac{u}{t_e}\left[1-\frac{E(B)}{E(A)}\right]EW$

さらに

$E(B)=t_e$
$E(A)=\frac{t_e}{u}$
$\frac{Var(B)}{E(B)^2}=c_e^2$

なので

$c_d^2=c_a^2+2u^2c_e^2-2u(1-u)\frac{EW}{t_e}$ ・・・・・（６）

これで式（６）を導くことが出来ました。