つなぎの式の導出（１）

待ち行列理論

「つなぎの式」で紹介しましたＧＩ／Ｇ／１待ち行列における「つなぎの式」、つまり出発過程の変動係数c_dを求める近似式

  • c_d^2{\approx}u^2c_e^2+(1-u^2)c_a^2・・・・・（１）

（ただし、uは装置の利用率、c_eは装置の処理時間の変動係数、c_aはジョブの到着間隔時間の変動係数）は、「Marshallの公式に向けて（２）」で導いた「Marshallの公式」（「Marshallの公式に向けて（２）」での式（６）。ただし平均待ち時間EWは私の本来の記法に従ってCT_qと書き直しました。）

  • c_d^2=c_a^2+2u^2c_e^2-2u(1-u)\frac{CT_q}{t_e}・・・・・（２）

と「Kingmanの近似式」

  • CT_q{\approx}\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u}{1-u}t_e・・・・・（３）

から導くことが出来ます。つまり式（２）に式（３）を代入すると、

  • c_d^2{\approx}c_a^2+2u^2c_e^2-2u(1-u)\frac{1}{t_e}\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u}{1-u}t_e
    • =c_a^2+2u^2c_e^2-u^2(c_a^2+c_e^2)=u^2c_e^2+(1-u^2)c_a^2

となるので、式（１）が導かれます。


式（１）の意味を少し見てきます。u\rightar{0}でc_d\rightar{c_a}になります。この理由は下の図を見れば分かると思います。

  • 図１

u\rightar{0}になれば、ジョブが待つことはなくなります。図のように、出発間隔D_nは到着間隔A_nと処理時間B_n、B_{n+1}を用いて

  • D_n=A_n+B_{n+1}-B_n

と表すことが出来ます。ここで、やはりu\rightar{0}なのでA_nはB_nやB_{n+1}に比べてかなり大きくなります。よって

  • D_n{\approx}A_n

となり、また、B_n-B_{n+1}によって導入される変動は無視出来ます。よって、

  • c_d{\rightar}c_a

が導き出されます。次に式（１）でu\rightar{1}でc_d\rightar{c_e}になりますが、この理由は下の図で分かると思います。

  • 図２

今度は常に装置が処理中なので、

  • D_n=B_{n+1}

になります。よって

  • c_d\rightar{c_e}

になります。


「つなぎの式の導出（２）」に続きます。