工場統計力学（建設中！）

つなぎの式の導出（２）

待ち行列理論

「つなぎの式の導出（１）」ではＧＩ／Ｇ／１について式（１）

$c_d^2{\approx}u^2c_e^2+(1-u^2)c_a^2$ ・・・・・（１）

を導出しました。しかし、式（１）をＧＩ／Ｇ／ｍの場合に拡張したという

$c_d^2{\approx}1+(1-u^2)(c_a^2-1)+\frac{u^2}{\sqrt{m}}(c_e^2-1)$ ・・・・・（４）

を導く方法がまだ私には分かりません。以下は、その導出の試みです。

ＧＩ／Ｇ／ｍの時に仮に

$c_d^2{\approx}q(m,u)+r(m,u)c_a^2+s(m,u)c_e^2$ ・・・・・（５）

で表すことが出来るとします。ここで $q(m,u)$ 、 $r(m,u)$ 、 $s(m,u)$ はこれから求める関数です。まず、Ｍ／Ｍ／ｍの時は、出発過程もポアソン分布になるので（「Ｍ／Ｍ／ｍの出発過程はポアソン過程（２）」参照）、 $c_a=c_e=1$ の時は、 $m$ 、 $u$ の値に関わらず、 $c_d=1$ にならなければなりません。これらを式（５）に代入して

$1=q(m,u)+r(m.u)+s(m,u)$

よって

$q(m,u)=1-r(m,u)-s(m,u)$ ・・・・・（６）

これを式（５）に代入すると

$c_d^2{\approx}1-r(m,u)-s(m,u)+r(m,u)c_a^2+s(m,u)c_e^2$ ・・・・・（７）

次に $m=1$ の時に式（７）は式（１）に一致しなければなりませんから

$1-r(1,u)-s(1,u)=0$ ・・・・・（８）
$r(1,u)=1-u^2$ ・・・・・（９）
$s(1,u)=u^2$ ・・・・・（１０）

このうち（８）は、（９）と（１０）から導くことが出来ますので、（９）と（１０）だけ考慮すればよいことになります。また、 $m>1$ の時も $m=1$ の時と同様に $u\rightar{0}$ で $c_d{\rightar}c_a$ となることが、「つなぎの式の導出（１）」と同様に考えると分かるので

$r(m,0)=1$ ・・・・・（１１）

また、「つなぎの式の導出（１）」と同様に考えると $u\rightar{1}$ で $c_d$ に対する $c_a$ の影響がなくなることが分かるので

$r(m,1)=0$ ・・・・・（１２）

となります。（９）（１１）（１２）から

$r(m,u)=1-u^2$ ・・・・・（１３）

と置くことが（必然的ではありませんが）自然であることが分かります。（１３）を（７）に代入して

$c_d^2{\approx}1-1+u^2-s(m,u)+(1-u^2)c_a^2+s(m,u)c_e^2$

よって

$c_d^2{\approx}1+(1-u^2)(c_a^2-1)+s(m,u)(c_e^2-1)$ ・・・・・（１４）

一方、Ｍ／Ｇ／∞の時、出発過程はポアソン分布になる（証明は別途示します）ので $c_d=c_a=1$ を（１４）に代入して $m{\rightar{\infty}$ とすれば

$1{\approx}1+\lim_{m\rightar{\infty}}s(m,u)(c_e^2-1)$

ここで、この式は $c_e$ は任意の値で成り立つことに注意すれば

$\lim_{m\rightar{\infty}}s(m,u)=0$ ・・・・・（１５）

私が今、分かっているのはここまでです。

式（１０）と（１５）から

$s(m,u)=\frac{u^2}{\sqrt{m}}$ ・・・・・（１６）

を導き出せれば（４）を導くことが出来るのですが、（１０）と（１５）を満足するものならば

$s(m,u)=\frac{u^2}{m$ ・・・・・（１６’）

でも

$s(m,u)=\frac{u^2}{m^2$ ・・・・・（１６’’）

でも

$s(m,u)=\frac{u^2}{m^2+m-1$ ・・・・・（１６’’’）

でもよいわけですから、（１０）と（１５）だけから（１６）を導くことが出来ません。
式（１４）で $u=1$ とすると、

$c_d^2{\approx}1+s(m,1)(c_e^2-1)$ ・・・・・（１７）

となり、 $c_a$ の項が消えます。これは下の図のように

図３

ｍ台ある装置がみな稼動しているために、出発間隔 $D_n$ が、処理時間 $B_n$ 、 $B_{n+1}$ ・・・・によってのみ決まる状況を表しています。つまり、１台の装置の処理時間の並びを下図のようにｍ台（下図では３台）並べて、全ての処理終了時刻を１つにまとめた時系列が出発過程になります。

図４

そしてその間隔の変動係数が $c_d$ になります。

ここまでは分かったのですが、変動係数が $c_e$ であるｍ個の処理時間の系列を重ね合わせた系列の変動係数の求め方が分かりません。残念です。

「つなぎの式の導出（３）」に続きます。