拡散近似（１） - 工場統計力学（建設中！）

「待ち行列における近似モデル　逆瀬川浩孝氏」と「拡散近似：その考え方と有用性　木村俊一氏」を読んで、何となく拡散近似が分かったような気がしたので、自分の理解したことを書いてみようと思います。

拡散近似で対象になっている待ち行列はＧＩ／Ｇ／ｍです。
まずは「待ち行列における近似モデル」のほうから

待ち行列の長さが、１に比べて十分に大きく、空にならないような時間間隔 $[t,t+s)$ をとって考えると、その間の到着累計 $A(t+s)-A(t)$ 、退去累計 $D(t+s)-D(t)$ は、近似的に正規分布にしたがっているものと期待できる。

$A(t)$ は時刻０から時刻 $t$ までの到着客（＝ジョブ）数を、 $D(t)$ は時刻０から時刻 $t$ までの出発（＝退去）した客数を、表します。ですから、 $A(t+s)-A(t)$ は時間間隔 $[t,t+s)$ の間に到着した客数を、 $D(t+s)-D(t)$ は時間間隔 $[t,t+s)$ の間に出発した客数を表します。これらはもちろん確率的に変動する数、すなわち確率変数です。そして上の文章は、この２つが「近似的に正規分布に」従うと主張しています。なぜ、これらの確率変数は正規分布になるのでしょうか？

私の理解は次のようなものです。時刻 $t$ の直前の到着時刻を $T_{a0}$ とします。その次の到着時刻を $T_{a1}$ とします。そしてその次の到着時刻を $T_{a2}$ とし、以下、同じように $T_{ak}$ を定義していきます。次に $k$ 番目の到着間隔 $t_{ak}$ を

$t_{ak}=T_{ak}-T_{ak-1}$ ・・・・・（１）

で定義します。到着間隔 $t_{ak}$ は仮定によりＧＩなので、全て独立で同一の確率分布（正規分布とは限らない）に従うことになります。すると $n$ 番目の到着時刻 $T_{an}$ は

$T_{an}=T_{a0}+\Bigsum_{k=1}^nt_{ak}$ ・・・・・（２）

と書くことが出来ますが、 $n$ の数が多くなるとこの $\Bigsum$ の部分が正規分布になることが分かります。（独立で同一の確率分布に従う確率変数の合計は、合計する確率変数の個数が多いと正規分布に近づくから）。ここで、時刻 $s$ の時に $A(t+s)-A(t)=x$ である確率を $f(s,x)$ で表します。すると、 $n$ が大きな数であるとして $x=n$ とした時の $f(s,n)$ は $n$ を固定すれば、 $s$ について正規分布になります。この正規分布の平均と標準偏差を求めてみます。 $t_{ak}$ の平均値を $t_a$ 、標準偏差を $\sigma_a$ とします。すると式（２）から $T_{an}$ の平均は $T_{a0}+nt_a$ 、標準偏差は $\sqrt{n}\sigma_a$ になります（「独立な確率変数の和の分散」参照）。よって

$f(s,n){\approx}\phi\left(\frac{t+s-T_{a0}-nt_a}{\sqrt{n}\sigma_a}\right)$ ・・・・・（３）

と書くことが出来ます。ここで $\phi(\cdot)$ は標準正規分布関数を表します。では、 $f(s,x)$ で $s$ を固定した時の分布はどうなるでしょうか？　これは $f(s,x)$ の定義から、確率変数 $A(t+s)-A(t)$ の分布を表す関数になっていることが分かります。（３）から

$f(s,n){\approx}\phi\left(\frac{nt_a-(t+s-T_{a0})}{\sqrt{n}\sigma_a}\right)$
$f(s,n){\approx}\phi\left(\frac{n-(t+s-T_{a0})/t_a}{\sqrt{n}\sigma_a/t_a}\right)$
$f(s,x){\approx}\phi\left(\frac{x-(t+s-T_{a0})/t_a}{\sqrt{x}\sigma_a/t_a}\right)$ ・・・・・（４）

ここで $x$ を

$\frac{t+s-T_{a0}}{t_a}$

の近くだけを変化させるとすれば、式（４）の分母の $\sqrt{x}$ を

$\sqrt{(t+s-T_{a0})/t_a}$

で置き換えても、あまり値に変わりがないと考えられます。よって

$f(s,x){\approx}\phi\left(\frac{x-(t+s-T_{a0})/t_a}{\sqrt{(t+s-T_{a0})/t_a}\sigma_a/t_a}\right)$ ・・・・・（５）

よって、 $s$ を固定した時の $x$ の分布は平均

$\frac{t+s-T_{a0}}{t_a}$

標準偏差

$\sqrt{(t+s-T_{a0})/t_a}\sigma_a/t_a$

の正規分布で近似出来ることが分かります。よって、 $A(t+s)-A(t)$ は近似的に正規分布になることが分かります。ただし、私は上で $n$ の数が大きいとしました。これは $s$ が大きいことを意味します。上の引用では $s$ の大きさについては何も述べられていませんが、私は $s$ が十分大きい、という条件が必要だと思います。ところで、定義により $t-T_{a0}$ は $t_a$ 程度の大きさです。 $s$ は $t_a$ に比べて十分大きいとします。すると、