拡散近似（２） - 工場統計力学（建設中！）

「拡散近似（１）」の続きです。
$D(t+s)-D(t)$ についても同様に考えます。ただし、このシステムの客（＝ジョブ）数がゼロになれば、それ以上出発出来ませんから上にあるように時間間隔 $[t,t+s)$ の間、

待ち行列の長さが、１に比べて十分に大きく、空にならない

という条件が必要です。
前回、 $s$ は長い時間であるべきだ、と、述べました。またここでは、この時間間隔 $[t,t+s)$ の間、待ち行列が空にならない、という要請が出ました。とすると、長い時間、待ち行列が空でない状況が続かなければなりません。よってこれは利用率が１に近づいていなければなりません。拡散近似は利用率 $u$ が $u\rightar{1}$ の時に成り立つ近似です。

装置が $m$ 台あるとします。時間間隔 $[t,t+s)$ の間、待ち行列は空にならないので、装置はいつも稼動しています。装置 $j$ 、 $1{\le}j{\le}m$ について時刻 $t$ の直前の処理終了時刻（これは次の処理の開始時刻でもあり、また客の出発時刻でもあります）を $T_{d0}(j)$ とします。その次の処理終了時刻を $T_{d1}(j)$ とします。そしてその次の処理終了時刻を $T_{d2(j)}$ とし、以下、同じように $T_{dk}(j)$ を定義していきます。次に装置 $j$ の $k$ 番目の処理時間を $t_{ek}(j)$ で表すと

$t_{ek}(j)=T_{dk}(j)-T_{dk-1}(j)$ ・・・・・（８）

で表すことが出来ます。処理時間 $t_{ek}$ は、仮定より全て独立で同一の確率分布（正規分布とは限らない）に従うことになります。すると装置 $j$ の $n$ 番目の処理終了時刻 $T_{dn}(j)$ は

$T_{dn}(j)=T_{d0}(j)+\Bigsum_{k=1}^nt_{ek}(j)$ ・・・・・（９）

と書くことが出来ますが、 $n$ の数が多くなるとこの $\Bigsum$ の部分が正規分布になることが分かります。

次に、時刻０から時刻 $t$ までに装置 $j$ から出発した客の数の累計を $D(t;j)$ で表すことにします。この定義から

$D(t)=\Bigsum_{j=1}^mD(t;j)$ ・・・・・（１０）

となり、（１０）から

$D(t+s)-D(t)=\Bigsum_{j=1}^m[D(t+s;j)-D(t;j)]$ ・・・・・（１１）

も導くことが出来ます。
時刻 $s$ の時に $D(t+s;j)-D(t;j)=x$ である確率を $g(s,x;j)$ で表します。すると、 $n$ が大きな数であるとして $x=n$ とした時の $g(s,n;j)$ は $n$ を固定すれば、 $s$ について正規分布になります。この正規分布の平均と標準偏差を求めます。 $t_{ek}(j)$ の平均値は、 $j$ の値に依存せず（なぜなら、全ての装置は同一の処理時間分布に従うので） $t_e$ です。一方 $t_{ek}$ の標準偏差を $\sigma_e$ とします（これも $j$ に依存しません）。すると式（９）から $T_{en}(j)$ の平均は $T_{d0}(k)+nt_e$ 、標準偏差は $\sqrt{n}\sigma_e$ になります。よって

$g(s,n;j){\approx}\phi\left(\frac{t+s-T_{d0}(j)-nt_e}{\sqrt{n}\sigma_e}\right)$ ・・・・・（１２）

と書くことが出来ます。ここで $\phi(\cdot)$ は標準正規分布関数を表します。ところで $g(s,x;j)$ で $s$ を固定した時の分布は $g(s,x;j)$ の定義から、確率変数 $D(t+s;j)-D(t;j)$ の分布を表す関数になっていることが分かります。（１２）から

$g(s,n;j){\approx}\phi\left(\frac{nt_e-(t+s-T_{d0}(j))}{\sqrt{n}\sigma_e}\right)$
$g(s,n;j){\approx}\phi\left(\frac{n-(t+s-T_{d0}(j))/t_e}{\sqrt{n}\sigma_e/t_e}\right)$
$g(s,x;j){\approx}\phi\left(\frac{x-(t+s-T_{d0}(j))/t_e}{\sqrt{x}\sigma_e/t_e}\right)$ ・・・・・（１３）